Im Buch "Introduction_to_the_Theory_of_Computation_by_Michael_Sipser_Third_Edition_Course_Technology", Seite 7, lautet der letzte Satz: "Eine Funktion, die alle Elemente des Bereichs verwendet, soll nicht der Bereich sein." Was ist mit „benutzen“ gemeint? Wie kann eine Funktion ihr Element ihres Wertebereichs verwenden? Kannst du bitte ein Beispiel geben? Vielen Dank im Voraus!
„Im Fall der Funktion abs, wenn wir mit ganzen Zahlen arbeiten, sind Definitionsbereich und Wertebereich Z, also schreiben wir abs : Z−!Z. Im Fall der Additionsfunktion für ganze Zahlen ist der Definitionsbereich die Menge von Paare von ganzen Zahlen Z × Z und der Bereich ist Z, also schreiben wir add : Z × Z−!Z. Beachten Sie, dass eine Funktion nicht unbedingt alle Elemente des angegebenen Bereichs verwenden muss. Die Funktion abs nimmt niemals den Wert −1 an obwohl −1 2 Z. Eine Funktion, die alle Elemente des Bereichs verwendet, wird als auf dem Bereich liegend bezeichnet.“
Es bedeutet nur, dass für jeden im Sortiment gibt es einige in der Domäne so dass , dh jedes Element des Bereichs wird abgebildet.
Beachten Sie, dass es im modernen Sprachgebrauch üblicher ist, den Begriff "Codomain" zu verwenden, um sich auf das zu beziehen, was Sipser den "Bereich" nennt, und "Bereich", um tatsächlich das Bild von zu bezeichnen . wird dann "onto" genannt, wenn sein Bereich gleich seiner Codomain ist.
Wie von @lulu angegeben, versucht der letzte Satz auszudrücken, dass eine Funktion f aufgerufen wird, wenn jeder Wert v im Bereich f (x) für ein x in der Domäne ist.
Um das zitierte Beispiel zu nehmen, ist die ganzzahlige Absolutwertfunktion genau dann aktiviert, wenn ihr Bereich die nicht negativen ganzen Zahlen ist (unter der Annahme, dass ihre Domäne die ganzen Zahlen sind).
Um dies zu sehen, beachten Sie Folgendes, wenn wir eine Funktion f durch definieren so dass für alle ganzen Zahlen x können wir ein beliebiges Element b aus dem Bereich ( ) und finde ein Element a des Definitionsbereichs (in diesem Fall würde entweder b oder -b funktionieren), so dass f(a) = b, also ist f on.
Wenn andererseits der Bereich eine Obermenge von wäre (z. B. Z), wäre es einfach, ein Element (z. B. -1) zu finden, das niemals die Ausgabe von f ist, sodass f nicht on wäre.
Eine Funktion ist auf if for every In wir können eine finden In so dass
Das heißt, alle müssen abgedeckt werden . Betrachten Sie ein Klassenzimmer mit Stühle u Studenten. Lassen Sie uns eine Funktion definieren Wo ist die Menge der Studenten und ist das Stuhlset von Wo vertritt jeden Studenten und ist der Lehrstuhl, der von diesem Schüler eingenommen wird. Dann ist diese Funktion nicht eingeschaltet, weil es einige Stühle gibt, die nicht "benutzt" werden. Um es zu schaffen, können wir fünf Stühle aus dem Klassenzimmer entfernen oder fünf weitere Schüler in das Klassenzimmer bringen.
lulu