Eine Funktion zum Erzeugen von pythagoreischen Tripeln

Für ein gegebenes rechtwinkliges Dreieck A B C mit Hypotenuse C , wenn Sie diesen Wert eines der Beine kennen, wie z B , können Sie mit Hilfe der Gleichung mögliche Werte für die beiden anderen Seiten berechnen " B 2 4 ± 1 " . Wenn Sie beispielsweise den Wert von erhalten 4 , würde das Lösen wie folgt ablaufen: 4 2 = 16 ; 16 4 = 4 ; Und 4 ± 1 = 3 , 5 Geben Sie die anderen beiden Seitenlängen. Das wird zum Bekannten 3 , 4 , 5 Pythagoräisches Tripel. Diese Gleichung funktioniert für jeden Wert von A und gibt ganzzahlige Ausgaben für jede gerade Zahl. Für ungerade Zahlen gibt es die etwas andere Gleichung " ( B 2 ) ± 1 2 ". Mir ist derzeit nicht bekannt, wie ich diese Gleichungen herleiten soll, und es wäre am hilfreichsten zu wissen, wie.

Bearbeiten: Die ungerade Gleichung funktioniert für jede gegebene Zahl aus folgenden Gründen: (beachten Sie, dass eine sehr ähnliche Auswertung für die gerade Version der Gleichung funktioniert)

A 2 + B 2 = C 2 , A = ( B 2 ) − 1 2 , C = ( B 2 ) + 1 2 . Diese sind alle gegeben, da sie Teil der Funktion sind.

( B 2 − 1 2 ) 2 + B 2 = ( B 2 + 1 2 ) 2 durch Substitution von A Und C .

B 4 − 2 B 2 + 1 4 + B 2 = B 4 + 2 B 2 + 1 4 durch quadrieren A Und C .

B 4 − 2 B 2 + 1 + 4 B 2 = B 4 + 2 B 2 + 1 indem du alles mit multiplizierst 4 .

− 2 B 2 + 4 B 2 = 2 B 2 mit einigen Stornierungen.

1 = 1 oder 0 = 0 durch mehr Stornieren.

Daher ist jeder Wert von B wird die Gleichung wahr machen. Der Grund, warum es am besten mit ungeraden ganzen Zahlen funktioniert, ist, weil "ungerade" ∗ "seltsam" = "seltsam", "seltsam" ± 1 = "gerade", und nur gerade Zahlen lassen beim Halbieren ganze Werte zurück.

Update: Einer der Kommentare fragte, ob diese Gleichung für andere Werte von modifiziert werden könnte C − A . Nach einigem Nachdenken habe ich eine Familie von Gleichungen gefunden, die in der Lage sind, Tripel mit jedem Wert von zu erzeugen C − A .

Nehmen wir das an C − A = 2 X . Es gibt eine Zahl θ dessen Wert in der Mitte liegt C Und A , also deshalb A = θ − X , Und C = θ + X Ersetzen Sie diese Werte in A 2 + B 2 = C 2 gibt uns folgendes:

( θ − X ) 2 + B 2 = ( θ + X ) 2

B 2 + θ 2 − 2 θ X + X 2 = θ 2 + 2 θ X + X 2

B 2 = 4 θ X

θ = B 2 4 X

Weil B = θ − X Und C = θ + X :

B = A 2 4 X − X

C = A 2 4 X + X

Wenn C − A = 2 , Dann X = 1 , und die Gleichung vereinfacht sich zu " B 2 4 ± 1 ". Andere Werte von x funktionieren auch. Für C − A = 3 , X = 1.5 , und die neue Gleichung lautet " B 2 6 ± 1.5 " Diese Gleichung erzeugt ganze Zahlen, wenn B ist ein ungerades Vielfaches von 3 .

Ein ähnlicher Prozess wie oben kann für jeden anderen Wert von ausgearbeitet werden X .

Dies funktioniert für Unterschiede von 2 zwischen den B , C Beine, oder Unterschiede von 1 zwischen ihnen für den Fall "ungerade Zahlen", den Sie auflisten. Haben Sie andere Unterschiede zwischen diesen Zahlen berücksichtigt?
Ich sehe die Grenzen der beiden Gleichungen und versuche, mehr zu finden, als für größere Unterschiede funktionieren kann.
Der Wikipedia-Artikel en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple ist vielleicht ein guter Anfang, und ich denke, ich sehe einige Möglichkeiten, wie die Formeln, die Sie bereits haben, von dem abgeleitet werden können, was dort ist.
Sie können \pm in Mathjax verwenden, um ein einzelnes Symbol zu erstellen, das das gewünschte Plus und Minus enthält.
Ich habe auf Ihrer Frage geschlafen und meine Antwort so bearbeitet, dass ich hoffe, dass sie Ihre Frage besser "beantwortet".
@ Lalit Tolani Können Sie mir ein Beispiel für ein "pythagoräisches" Tripel zeigen, das mit generiert wird X > 1 ? Alle diese Tripel haben ganzzahlige Seiten und nur für X = 1 sind die Seiten symmetrisch.
@PiGuy314. Bitte werfen Sie einen Blick auf das Update in meiner Antwort und dann auf das Update zu Ihrer Frage. Ich denke, es gibt eine Trennung zwischen ihnen.

Antworten (1)

Ihre Formel generiert alle Tripel wo   C − A = 2.   Die einzige Vorsicht besteht darin, dass Sie die Eingabe auf beschränken müssen 4 N   um sicherzustellen, dass nur Primitive generiert werden. Um die Gültigkeit Ihrer Formel zu verstehen, beginnen wir mit einer Variation von Euklids Formel

A =     ( 2 N − 1 + k ) 2 − k 1 B = 2 ( 2 M − 1 + k ) k C =     ( 2 N − 1 + k ) 2 + k 1
↓

A = ( 2 N − 1 ) 2 + 2 ( 2 N − 1 ) k B =   2 ( 2 N − 1 ) k + 2 k 2 C = ( 2 N − 1 ) 2 + 2 ( 2 N − 1 ) k + 2 k 2

das erzeugt nur und alle Tripel wo G C D ( A , B , C ) = ( 2 X − 1 ) 2 , X ∈ N .
Seit 1 ein ungerades Quadrat ist, enthält diese Teilmenge alle primitiven pythagoräischen Tripel.

N k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 S e T 1 3 , 4 , 5 5 , 12 , 13 7 , 24 , 25 9 , 40 , 41 S e T 2 15 , 8 , 17 21 , 20 , 29 27 , 36 , 45 33 , 56 , 65 S e T 3 35 , 12 , 37 45 , 28 , 53 55 , 48 , 73 65 , 72 , 97 S e T 4 63 , 16 , 65 77 , 36 , 85 91 , 60 , 109 105 , 88 , 137 S e T 5 99 , 20 , 101 117 , 44 , 125 135 , 72 , 153 153 , 104 , 185 S e T 6 143 , 24 , 145 165 , 52 , 173 187 , 84 , 205 209 , 120 , 241

Wir können diese Spalte sehen 1 enthält nur "Ihre" Tripel wo   C − A = 2   und, wenn wir lassen   k = 1 ,   die Formel reduziert sich auf   A = 4 N 2 − 1 B = 4 N C = 4 N 2 + 1.

Um herauszufinden, wie   B 2 4 + 1 = C ,   Wir setzen die Plusseite Ihrer Formel mit der gleich C -Funktion.

Rückwärts arbeiten (Hinweis:   B = 4 N   egal welche Formel verwendet wird)

B 2 4 + 1 = ( ( 4 N ) 2 4 ) + 1 = 16 N 2 4 + 1 = 4 N 2 + 1 = C

Die gleiche Logik gilt für die Minus-Seite Ihrer Formel und, wenn wir in die andere Richtung arbeiten   4 N 2 ∓ 1 ,   Wir können sehen, wie Ihre Formel korrekt ist, obwohl sie in der Teilmenge der Tripel, die sie erzeugt, begrenzt ist.

Aktualisieren: Leider lässt sich deine Formel nicht verallgemeinern   C − A > 2   Weil   C − A = 2 k 2 ∈ { 2 , 8 , 18 , 32 , 50 ⋯ } aber die anderen beiden Unterschiede sind asymmetrisch:

C − B = ( 2 N − 1 ) 2 B − A = P = P 1 P 2 P 3 ⋯   Wo   P ≡ P N ≡ ± 1 ( Mod 8 )

Zum Beispiel mit  ( 57 , 176 , 185 ) : C − A = 185 − 57 = 2 × 8 2 C − B = 185 − 176 = 3 2 B − A = 176 − 57 = 7 × 17

@PiGuy314 Danke, dass du meinen Fehler entdeckt hast. Es ist kein primitives Tripel und auch kein Tripel, bei dem A und C gerade sind, aber es ist tatsächlich ein gültiges Tripel. Danke noch einmal. Gibt es weitere Fragen zur Herleitung Ihrer Formel?
Momentan keine. Ich schätze die Mühe, die Sie sich gemacht haben, sehr.
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