Eine Identität mit Bernoulli-Zahlen und Stirling-Zahlen

Diese Frage hat nicht viel Aufmerksamkeit erregt, aber ich werde eine Lösung posten, die ich gerade gefunden habe, falls es jemanden interessiert. Es war einfacher, als ich vermutet hatte.

Wir nutzen die Tatsache, dass if$m\geq 3$ist dann seltsam$B_m=0$. Die gleichung

$$\sum_{m=0}^{n-1}B_m{n\choose m}=0 \tag{1}$$ gilt für jede positive ganze Zahl $n$. Wenn $n$ist dann seltsam $$\sum_{m=0}^{n}B_m2^m{n\choose m}=0. \tag{2}$$

Weil$\sum_{i=0}^{k-t}{2(k-t)+2\choose 2i+1}=2^{2k-2t+1}$, wir haben

$$\sum_{i+t\leq k}B_{2t}2^{2t}{\textstyle{2k+2\choose 2t,2i+1,2k-2t-2i+1}}=\sum_{t=0}^k B_{2t}2^{2t}{\textstyle{2k+2\choose 2t}}\sum_{i=0}^{k-t}{\textstyle{2(k-t)+2\choose 2i+1}}=2^{2k+1}\sum_{t=0}^{k}B_{2t}{\textstyle{2k+2\choose 2t}}.$$ Seit $B_m=0$für alles ungerade $m\geq 3$,

$$\sum_{i+t\leq k}B_{2t}2^{2t}{\textstyle{2k+2\choose 2t,2i+1,2k-2t-2i+1}}=2^{2k+1}\left(\sum_{\ell=0}^{2k+1}B_\ell{\textstyle{2k+2\choose \ell}}-B_1{\textstyle{2k+2\choose 1}}\right)=2^{2k+1}(k+1). \tag{3}$$ Beachten Sie, dass wir verwendet haben $(1)$zusammen mit der Tatsache, dass $B_1=-\frac 12$um die letzte Gleichheit oben abzuleiten.

Nächste,

$$\sum_{\left\lfloor k/2\right\rfloor<i+t\leq k}B_{2t}2^{2t}{\textstyle{2k+2\choose 2t,2i+1,2k-2t-2i+1}}=\sum_{m=\left\lfloor k/2\right\rfloor+1}^k{\textstyle{2k+2\choose 2m+1}}\sum_{t=0}^m B_{2t}2^{2t}{\textstyle{2m+1\choose 2t}}$$ $$=\sum_{m=\left\lfloor k/2\right\rfloor+1}^k{\textstyle{2k+2\choose 2m+1}}\left(\sum_{\ell=0}^{2m+1} B_\ell2^\ell{\textstyle{2m+1\choose \ell}}-2B_1{\textstyle{2m+1\choose 1}}\right)=\sum_{m=\left\lfloor k/2\right\rfloor+1}^k{\textstyle{2k+2\choose 2m+1}}(2m+1),$$ wo wir verwendet haben $(2)$das zu sehen $\sum_{\ell=0}^{2m+1} B_\ell2^\ell{\textstyle{2m+1\choose \ell}}=0$. Deshalb, $$\sum_{\left\lfloor k/2\right\rfloor<i+t\leq k}B_{2t}2^{2t}{\textstyle{2k+2\choose 2t,2i+1,2k-2t-2i+1}}=\sum_{m=\left\lfloor k/2\right\rfloor+1}^k(2k+2)\left[{\textstyle{2k\choose 2m}}+{\textstyle{2k\choose 2m-1}}\right]$$ $$=(k+1)\left(\sum_{m=\left\lfloor k/2\right\rfloor+1}^k\left[{\textstyle{2k\choose 2m}}+{\textstyle{2k\choose 2m-1}}\right]+\sum_{j=0}^{k-\left\lfloor k/2\right\rfloor-1}\left[{\textstyle{2k\choose 2j}}+{\textstyle{2k\choose 2j+1}}\right]\right)=(k+1)(2^{2k}-(-1)^k{\textstyle{2k\choose k}}). \tag{4}$$

Wenn wir subtrahieren$(4)$aus$(3)$, wir glauben, dass

$$\sum_{i+t\leq\left\lfloor k/2\right\rfloor}B_{2t}2^{2t}\textstyle{2k+2\choose 2t,2i+1,2k-2t-2i+1}=(k+1)\left(2^{2k}+(-1)^k{2k\choose k}\right).$$ Die gewünschte Identität folgt nun per Einstellung $k=2m+1$.