Eine interessante Binomialsumme

Kürzlich fragte ein Student diese Zusammenfassung

S = ∑ k = 0 N ( N k ) ( M + N − 1 k )
ohne sich anzustrengen. Interessanterweise scheint das Öffnen des Binomialkoeffizienten nicht zu helfen, aber es ist machbar.

Verwenden

( N k ) − 1 = ( N + 1 ) ∫ 0 1 X k ( 1 − X ) N − k D X .
Dann
S = ∑ k = 0 N ( N k ) ( M + N − 1 k ) = ( M + N ) ∑ k = 0 N ∫ 0 1 ( N k ) X k ( 1 − X ) M + N − 1 D X
⟹ S = ( M + N ) ∫ 0 1 D X   ( 1 − X ) M + N − 1 ∑ k = 0 N ( N k ) ( X 1 − X ) k
⟹ S = ( M + N ) ∫ 0 1 ( 1 − X ) M − 1 D X = M + N M .

Die Frage ist: Wie macht man es sonst?

Verwenden Sie dies vielleicht zusammen mit hypergeometrischen Reduktionsformeln?

Antworten (1)

Die Öffnung des Binomialkoeffizienten funktioniert tatsächlich.

∑ k = 0 N ( N k ) ( M + N − 1 k ) = N ! ( M + N − 1 ) ! ∑ k = 0 N ( M + N − k − 1 ) ! ( N − k ) ! = N ! ( M − 1 ) ! ( M + N − 1 ) ! ∑ k = 0 N ( M + N − k − 1 ) ! ( N − k ) ! ( M − 1 ) ! = N ! ( M − 1 ) ! ( M + N − 1 ) ! ∑ k = 0 N ( M + N − k − 1 M − 1 ) = N ! ( M − 1 ) ! ( M + N − 1 ) ! ∑ k = 0 N ( M + k − 1 M − 1 )

Wir wissen das,
∑ k = 0 N ( M + k − 1 M − 1 ) = ( M − 1 M − 1 ) + ( M M − 1 ) + ⋯ + ( M + N − 1 M − 1 ) = ( M + N M )
Deshalb,
∑ k = 0 N ( N k ) ( M + N − 1 k ) = N ! ( M − 1 ) ! ( M + N − 1 ) ! ⋅ ( M + N M ) = M + N M

Tolle Antwort, im vierten Schritt aufrufend k → N − k wäre etwas besser gewesen.
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