Eine interessante Frage über pythagoreische Tripel

Ich habe kürzlich über eine interessante Frage zu pythagoreischen Tripeln nachgedacht.

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Stellen Sie sich ein solches rechtwinkliges Trapez vor, das aus 3 rechtwinkligen Dreiecken besteht. Bestimmen Sie, ob es ganzzahlige Lösungen für Seitenlängen gibt A B , B C , C D , D E , E A , A C Und C E .

Hier sind meine Ideen.Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Ich weiß, dass das pythagoreische Tripel durch Ersetzen einer ganzen Zahl in erzeugt werden kann X 2 − j 2 , 2 X j , X 2 + j 2 . Also lass A B = M 2 − N 2 , B C = 2 M N , C D = 2 P Q , D E = P 2 − Q 2 , A C = M 2 + N 2 = u 2 − v 2 , C E = P 2 + Q 2 = 2 u v Und A E = u 2 + v 2 . Um die Frage zu beantworten, muss ich zeigen, dass if M 2 + N 2 = u 2 − v 2 Und P 2 + Q 2 = 2 u v haben ganzzahlige Lösung(*). Aber ich weiß nicht, wie ich das zeigen soll.

Kann mir jemand sagen, ob ich mit (*) richtig liege? Wenn ich Recht habe, wie soll ich es zeigen? Wenn ich falsch liege, wie löse ich die Frage?

Danke schön.

Entschuldigung, ich bin ein schlechter Frage-Tagger.

Was ist, wenn es keine ähnlichen Dreiecke gibt?

Antworten (2)

Beachten Sie, dass die Dreiecke ABC und CDE ähnlich sein müssen, wenn BCD eine gerade Linie sein soll, also müssen beide aus ganzzahligen Vielfachen desselben primitiven pythagoreischen Tripels T= {a,b,c} mit Hypotenuse c aufgebaut werden.

Angenommen, ABC ist P T und CDE ist Q T Dann A C = P C Und C E = Q C Und A E 2 = P 2 C 2 + Q 2 C 2 so dass A E ist teilbar durch C und gleich R C .

Sie können Ihr Trapez aus jedem Paar pythagoräischer Tripel bauen (nicht unbedingt primitiv).

T={ A , B , C } und U= { P , Q , R }

mit ABC = { P A , P B , P C }, CDE = { Q B , Q A , Q C }, ACE = { P C , Q C , R C }.

Und das ist im Wesentlichen die einzige Möglichkeit, dies zu tun.

Du hast viele Lösungen, nimm einfach beliebige Tripel (zB 3,4,5).

Multiplizieren Sie dann mit dem richtigen Betrag basierend auf einem anderen Tripel (z. B. 3,4,5).

BC=9, AB=12, AC=15 DE=12, CD=16, CD=20

Dann ist AE = 25

Für alle pythagoräischen Tripel (a,b,c) (d,e,f) (g,h,i) ist eine Lösung also (agf,bgf,cgf) (dhc,ehc,fhc) und dann (icf) for die letzte Länge.

Natürlich können Sie die erhaltene Lösung durch den ggT aller Längen dividieren ...

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