Eine Reihenschaltung aus RR\text{R} und CC\text{C}

Ich habe eine Reihenschaltung von R und C mit einer Gleichspannungsquelle. Ich möchte die Ladefunktion des Kondensators finden. Meine Frage ist: Ist die Methode, die ich verwende, richtig?

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Meine Arbeit (mit Laplace-Transformation):

$$\begin{cases} \text{U}_{\text{in}}(t)=\text{U}_{\text{C}}(t)+\text{U}_{\text{R}}(t)\\ \\ \text{U}_{\text{R}}(t)=\text{I}_{\text{R}}(t)\cdot\text{R}\\ \\ \text{I}_{\text{C}}(t)=\text{U}_{\text{C}}'(t)\cdot\text{C}\\ \\ \text{I}_{\text{in}}(t)=\text{I}_{\text{C}}(t)=\text{I}_{\text{R}}(t) \end{cases}\space\space\space\space\space\space\Longrightarrow^{\mathcal{L}}\space\space\space\space\space\space \begin{cases} \text{U}_{\text{in}}(\text{s})=\text{U}_{\text{C}}(\text{s})+\text{U}_{\text{R}}(\text{s})\\ \\ \text{U}_{\text{R}}(\text{s})=\text{I}_{\text{R}}(\text{s})\cdot\text{R}\\ \\ \text{I}_{\text{C}}(\text{s})=\text{C}\cdot\text{s}\cdot\text{U}_{\text{C}}(\text{s})-\text{C}\cdot\text{U}_{\text{C}}(0)\\ \\ \text{I}_{\text{in}}(\text{s})=\text{I}_{\text{C}}(\text{s})=\text{I}_{\text{R}}(\text{s}) \end{cases}$$

Wir erhalten also:

$$\text{U}_{\text{in}}(\text{s})=\frac{\text{I}_{\text{in}}(\text{s})+\text{C}\cdot\text{U}_{\text{C}}(0)}{\text{C}\cdot\text{s}}+\text{I}_{\text{in}}(\text{s})\cdot\text{R}\Longleftrightarrow\text{I}_{\text{in}}(\text{s})=\frac{\text{U}_{\text{in}}(\text{s})-\frac{\text{U}_{\text{C}}(0)}{\text{s}}}{\text{R}+\frac{1}{\text{C}\cdot\text{s}}}$$

Also, wenn ich U_c (s) finden möchte:

$$\text{I}_{\text{in}}(t)=\text{U}_{\text{C}}'(t)\cdot\text{C}\space\space\space\space\space\space\Longrightarrow^{\mathcal{L}}\space\space\space\space\space\space\frac{\text{U}_{\text{in}}(\text{s})-\frac{\text{U}_{\text{C}}(0)}{\text{s}}}{\text{R}+\frac{1}{\text{C}\cdot\text{s}}}=\text{C}\cdot\text{s}\cdot\text{U}_{\text{C}}(\text{s})-\text{C}\cdot\text{U}_{\text{C}}(0)$$

Das Lösen von U_c (s) gibt mir:

$$\text{U}_{\text{C}}(\text{s})=\frac{\frac{\text{U}_{\text{in}}(\text{s})-\frac{\text{U}_{\text{C}}(0)}{\text{s}}}{\text{R}+\frac{1}{\text{C}\cdot\text{s}}}+\text{C}\cdot\text{U}_{\text{C}}(0)}{\text{C}\cdot\text{s}}$$

Wissen, dass die Spannungsquelle DC ist:

$$\text{U}_{\text{in}}(\text{s})=\frac{\text{U}_{\text{in}}}{\text{s}}$$

So:

$$\color{red}{\text{U}_{\text{C}}(\text{s})=\frac{\frac{\frac{\text{U}_{\text{in}}}{\text{s}}-\frac{\text{U}_{\text{C}}(0)}{\text{s}}}{\text{R}+\frac{1}{\text{C}\cdot\text{s}}}+\text{C}\cdot\text{U}_{\text{C}}(0)}{\text{C}\cdot\text{s}}=\frac{\frac{\text{U}_{\text{in}}-\text{U}_{\text{C}}(0)}{\text{R}\cdot\text{s}+\frac{1}{\text{C}}}+\text{C}\cdot\text{U}_{\text{C}}(0)}{\text{C}\cdot\text{s}}}$$

Unter Verwendung der inversen Laplace-Transformation fand ich:

$$\text{U}_{\text{C}}(t)=\text{U}_{\text{in}}+e^{-\frac{t}{\text{CR}}}\left(\text{U}_{\text{C}}(0)-\text{U}_{\text{in}}\right)$$