Einfache QFT-Simulation - wie es geht

Ich möchte eine einfache QFT-Simulation für ein freies Skalarfeld mit einem kubischen Wechselwirkungsterm schreiben. Allerdings bin ich etwas hängen geblieben. Ich werde versuchen zu beschreiben, was ich zu verstehen glaube.

Ich möchte mir ein Feld mit Lagrange-Dichte ansehen

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2} \dot{\phi}^2 - \frac{1}{2} \phi'^2 - K \phi^3.$$

Dann wäre für ein klassisches Feld die Bewegungsgleichung (aus der Euler-Lagrange-Gleichung).

$$\ddot{\phi} - \phi'' = -3K \phi^2.$$

Allerdings würde ich gerne mit einem Quantenfeld arbeiten. Unter Verwendung des Standardverfahrens der zweiten Quantisierung sollte ich den Hamilton-Operator konstruieren

$$H = \int \mathrm{d} x \left [ \frac{1}{2} \Pi^2 + \frac{1}{2} \phi'^2 + K \phi^3 \right ]$$

Wo$\Pi = \partial \mathcal{L} / \partial \dot{\phi}$.

Jetzt sollte ich eine Verwandlung vornehmen$\Pi(x,t) \to \hat{\Pi}(x,t)$Und$\phi(x,t) \to \hat{\phi}(x,t)$. So weit, ist es gut. Kommutierungsbeziehung definieren$[\hat{\phi}(x,t),\hat{\Pi}(x',t')] = i \delta(x-x',t-t')$, ich sollte irgendwie Kontakt mit den Leiteroperatoren aufnehmen$a$Und$a^{\dagger}$. Allerdings sehe ich nicht wirklich wie. Für ein freies Feld finde ich die freien klassischen wellenartigen Lösungen und fördere dann die Gewichte verschiedener Moden zu Operatoren. Für ein Feld mit Interaktion weiß ich nicht wirklich, was ich tun soll. Das ist mein erstes Problem.

Zweitens kann ich, sobald ich Kontakt zu Leiteroperatoren aufnehme, jeden Zustand des Systems als eine Verkettung von Leiteroperatoren im Vakuumzustand ausdrücken$|0\rangle$wie zum Beispiel$a^{\dagger}_{p_2} a^{\dagger}_{p_1} |0\rangle$. Ein allgemeiner Zustand soll dann als Überlagerung aller möglichen Zustände aller Teilchenzahlen beschrieben werden

$$|\psi\rangle = \left( \lambda_0 + \sum_{\mathrm{p_1}} \lambda_1(p_1) a^{\dagger}(p_1) + \sum_{\mathrm{p_1,p_2}} \lambda_2(p_1,p_2) a^{\dagger}(p_2) a^{\dagger}(p_1) + \begin{bmatrix}\mbox{higher particle}\\\mbox{number states}\end{bmatrix} \right) |0\rangle.$$

Ein solcher Zustand hat Parameterfunktionen$\lambda_0$,$\lambda_1(p_1)$,$\lambda_2(p_1,p_2)$usw., die Amplituden verschiedener bestimmter Teilchenzahlzustände mit unterschiedlichen Impulsen angeben.

Jetzt bin ich verwirrt, ob die Entwicklung des Systems vollständig in der enthalten sein sollte$\lambda$s als Funktionen der Zeit, oder ob sich die Leiteroperatoren mit der Zeit entwickeln sollten. Wie kann ich auf jeden Fall die Bewegungsgleichung des QFT-Systems erhalten? Das ist mein zweites Problem.

Ich wäre dankbar, wenn mir jemand dabei helfen könnte. Insbesondere ist es mein Ziel, die Funktionen zu sehen$\lambda$sich mit der Zeit auf einem Computer entwickeln.

Vielen Dank.

SSF