Einige Anfänger zweifeln an Tensoren

Question

Einige Anfänger zweifeln an Tensoren

MNRaia

Ich habe eine Frage zu Tensoren. Okay, man könnte sagen, dass diese Frage besser zu Math.StackExchange passen würde, aber hier ist es gemütlicher. Ohnehin:

Ein Vektor, wie wir alle im ersten Jahr gelernt haben, könnte in dieser Form geschrieben werden:

v = \sum A_{ich} e_{ich}

$\begin{equation} \textbf{V} = \sum A_{i} \textbf{e}_{i} \end{equation}$

Okay, die Sache beginnt "reicher" mit linearer Algebra, wenn man aufgrund des Formalismus jetzt den Unterschied zwischen einem kontravarianten Vektor und einem kovarianten Vektor erkennen könnte . Bzw:

v = \sum A^{ich} e_{ich}, v = \sum A_{ich} e^{ich}

$\begin{equation} \textbf{V} = \sum A^{i} \textbf{e}_{i} , \textbf{V} = \sum A_{i} \textbf{e}^{i} \end{equation}$

Wenn Sie sehr neugierig sind, können Sie das Studium der Tensoren erreichen. Nach der gleichen "Idee" könnte man nun einen Tensor (von Rang 3) mit der gleichen "Form" eines Vektors schreiben. Ein kontravarianter Tensor und ein kovarianter Tensor . Bzw:

T = \sum \sum \sum T^{ich J k} e_{ich} e_{J} e_{k}, T = \sum \sum \sum T_{ich J k} e^{ich} e^{J} e^{k}

$\begin{equation} \textbf{T} = \sum \sum \sum T^{ijk} \textbf{e}_{i}\textbf{e}_{j}\textbf{e}_{k},\\ \textbf{T} = \sum \sum \sum T_{ijk} \textbf{e}^{i}\textbf{e}^{j}\textbf{e}^{k} \end{equation}$

Frage:

Das erste, was wir lernen, wenn wir beginnen, über Tensoren aus der Perspektive der linearen Algebra zu sprechen, ist das Tensorprodukt. Aus diesem Grund weiß ich, dass das, was ich oben geschrieben habe, tatsächlich Folgendes ist:

T = \sum \sum \sum T^{ich J k} e_{ich} \otimes e_{J} \otimes e_{k}

$\begin{equation} \textbf{T} = \sum \sum \sum T^{ijk} \textbf{e}_{i}\otimes \textbf{e}_{j}\otimes \textbf{e}_{k} \end{equation}$

Der Punkt ist, dass ich den Begriff immer noch nicht verstanden habe $\textbf{e}_{i}\otimes \textbf{e}_{j}$ könnte eine grundlegende Art sein, zum Beispiel über innere Produkte nachzudenken, oder sogar was $\textbf{e}_{i}\otimes \textbf{e}_{j}\otimes \textbf{e}_{k}$ wirklich wirklich bedeutet in diesem Konzept; kann jemand dabei helfen?. Ich meine "Tensoren erzeugen" in der obigen Form.

MNRaia

Hallo Countto10. Ich bin also Brasilianerin und die meisten meiner Quellen sind auf Portugiesisch. Aber Bücher wie: Marion (klassische Mechanik), Hartle (Allgemeine Relativitätstheorie); Greub (Lineare Algebra) und Hoffman-Kunze (Lineare Algebra) sind meine Hauptquellen.

Emil

Ich denke, eine Art zu denken ist, dass sie sich gegenseitig "fressen". Ex:

[e_{1} \otimes e_{2}] (e^{1} \otimes e^{2}) = e^{1} (e_{1}) \cdot e^{2} (e_{2})

$[e_1\otimes e_2](e^1\otimes e^2)=e^1(e_1)\cdot e^2(e_2)$ . Ex:

[e^{1} \otimes e^{2}] (e_{1} \otimes e_{2}) = e^{1} (e_{1}) \cdot e^{2} (e_{2})

$[e^1\otimes e^2](e_1\otimes e_2)=e^1(e_1)\cdot e^2(e_2)$

Emil

Ich glaube auch, dass die Kontraktion ist, wenn Sie nur einen von ihnen füttern. Ex:

C (2, 1) (a \otimes b \otimes c, d) = b^{i} (d_{i}) a \otimes c

$C(2,1)(a\otimes b\otimes c,d)= b^i(d_i)a\otimes c$ (Anmerkung: Ich habe dies nicht überprüft. Ich habe auch eine provisorische Notation verwendet, da ich die echte Notation nicht gefunden habe).

Emil

Auch die Komponenten sind

T^{i j k} = T (e^{i} \otimes e^{j} \otimes e^{k})

$T^{ijk}=\mathbf{T}(e^i\otimes e^j \otimes e^k)$ . Der

e_{i} \otimes e_{j} \otimes e_{k}

$e_i\otimes e_j \otimes e_k$ sind da, um alle anderen Fälle zu behandeln (da T multilinear ist, können Sie sie die anderen möglichen Argumente für T behandeln lassen). Es sei denn, ich irre mich.

Emil

Noch ein Gedanke, vielleicht hätte das obige Kontraktionsbeispiel so geschrieben werden sollen

C (2, 4) (a \otimes b \otimes c \otimes d)

$C(2,4)(a\otimes b\otimes c\otimes d)$ , um sozusagen im Tensorland zu bleiben..

Antworten (1)

Einige Anfänger zweifeln an Tensoren

Hallo Countto10. Ich bin also Brasilianerin und die meisten meiner Quellen sind auf Portugiesisch. Aber Bücher wie: Marion (klassische Mechanik), Hartle (Allgemeine Relativitätstheorie); Greub (Lineare Algebra) und Hoffman-Kunze (Lineare Algebra) sind meine Hauptquellen.
Ich denke, eine Art zu denken ist, dass sie sich gegenseitig "fressen". Ex: $[e_1\otimes e_2](e^1\otimes e^2)=e^1(e_1)\cdot e^2(e_2)$ . Ex: $[e^1\otimes e^2](e_1\otimes e_2)=e^1(e_1)\cdot e^2(e_2)$
Ich glaube auch, dass die Kontraktion ist, wenn Sie nur einen von ihnen füttern. Ex: $C(2,1)(a\otimes b\otimes c,d)= b^i(d_i)a\otimes c$ (Anmerkung: Ich habe dies nicht überprüft. Ich habe auch eine provisorische Notation verwendet, da ich die echte Notation nicht gefunden habe).
Auch die Komponenten sind $T^{ijk}=\mathbf{T}(e^i\otimes e^j \otimes e^k)$ . Der $e_i\otimes e_j \otimes e_k$ sind da, um alle anderen Fälle zu behandeln (da T multilinear ist, können Sie sie die anderen möglichen Argumente für T behandeln lassen). Es sei denn, ich irre mich.
Noch ein Gedanke, vielleicht hätte das obige Kontraktionsbeispiel so geschrieben werden sollen $C(2,4)(a\otimes b\otimes c\otimes d)$ , um sozusagen im Tensorland zu bleiben..

geniert · Answer 1

Aufgrund des Formalismus konnte man nun den Unterschied zwischen einem kontravarianten Vektor und einem kovarianten Vektor erkennen

Dies ist falsch: kovariant (bzw. kontravariant) bezieht sich nicht auf den Vektor, sondern auf die Transformationseigenschaften der Komponenten eines solchen Vektors entlang einer bestimmten Basis.

Ein Vektor $\mathbf{v}$ ist ein Element eines Vektorraums $V$ . Ein Co-Vektor ist eine Abbildung von einem Vektorraum in ein Feld $\alpha\colon V\to\mathbb{F}$ und als solches Element des dualen Vektorraums $V^*$ . Ein Tensor vom Typ $(r,s)$ ist eine Karte $\tau\colon V^r\times {V^*}^s\to\mathbb{F}$ .

Angesichts des oben Gesagten ein Tensorprodukt zweier Tensoren $T\colon A\to X$ , $S\colon B\to Y$ ist eine weitere lineare Karte, die definiert ist als

T \otimes S : A \otimes B \to X \otimes Y

$T\otimes S\colon A\otimes B\to X\otimes Y$ so dass

(T \otimes S) (a \otimes b) = T (a) \otimes S (b)

$(T\otimes S)(a\otimes b)=T(a)\otimes S(b)$ wie auch immer Sie wählen

a \in A, b \in B

$a\in A, b \in B$ .

Durch Linearität können Sie Tensorprodukte beliebiger Art konstruieren.

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MNRaia

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Emil

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