Einige Fragen zur Größe der richtigen Klassen in ZFC

Diese Frage wurde vor einiger Zeit bei MO gestellt . Im Folgenden zitiere ich den relevanten Teil meiner Antwort. Aber lassen Sie mich einige Kommentare hinzufügen.

In ZFC sind (richtige) Klassen keine eigentlichen Objekte, wir behandeln sie nur formal, und sie sind wirklich nur Abkürzungen für Formeln (mit Parametern), dh wir identifizieren Formeln$\phi(x)$mit der Sammlung von Sets, die überzeugen$\phi$.

Das macht es etwas umständlich, von Beziehungen zwischen Klassen zu sprechen. Arturos nette Antwort zeigt zum Beispiel, wie man beispielsweise eine Bijektion zwischen zwei Klassen verstehen kann. Etwas förmlicher, wenn$X$ist die Klasse von$x$so dass$\phi(x)$Und$Y$ist die Klasse von$y$so dass$\psi(y)$, dann eine Bijektion dazwischen$X$Und$Y$ist eine Klasse$Z$durch eine Formel gegeben$\rho(x,y)$so dass:

1. Für alle$x,y,z$, Wenn$\rho(x,y)$Und$\rho(x,z)$Dann$y=z$.
2. Ebenso für alle$x,y,z$, Wenn$\rho(x,y)$Und$\rho(z,y)$, Dann$x=z$.
3. Für alle$x,y$,$\rho(x,y)$impliziert, dass$\phi(x)$Und$\psi(y)$hält.
4. Für alle$x$so dass$\phi(x)$da ist ein$y$so dass$\rho(x,y)$.
5. Und für alle$y$so dass$\psi(y)$, Da ist ein$x$so dass$\rho(x,y)$.

Diese Unbeholfenheit macht es auch unmöglich, eine angemessene Theorie der Klassen zu entwickeln. Zum Beispiel die natürliche Frage: „Sind$X$Und$Y$pf die gleiche Größe?" kann in ZFC nicht einmal gefragt werden . Natürlich, wenn es eine gibt$\rho$wie oben, dann können wir sagen, dass sie die gleiche Größe haben, wie von bezeugt$Z$, und wenn es keine solche gibt$\rho$, außerhalb von ZFC können wir sagen, dass Sie nicht die gleiche Größe haben, aber alles, was wir in ZFC tun können, ist zu sagen, von einer bestimmten Formel$\rho$, Das$\rho$definiert keine Bijektion zwischen$X$Und$Y$.

Äquipotenz ist natürlich nur ein Beispiel dafür, was wir nicht frei über Klassen diskutieren können. Wenn wir also an richtigen Klassen interessiert sind, wechseln wir von ZFC zu anderen Theorien. Es gibt (mindestens) zwei natürliche Erweiterungen von ZFC, bei denen Klassen als formale Objekte behandelt werden können. Einer ist NBG (Von Neumann-Bernays-Gödel). Hier sind die Objekte Klassen und Mengen sind Klassen, die zu anderen Klassen gehören.$Z$ist eine Bijektion zwischen$X$Und$Y$iff$A$eine Funktion ist, ist ihr Definitionsbereich$X$und seine Reichweite ist$Y$(genau wie bei Sätzen). NBG wird normalerweise bevorzugt, da es eine konservative Erweiterung von ZFC ist; In gewisser Weise haben wir lediglich Verweise auf Klassen zugelassen, ohne das zu ändern, was wir mit „set“ meinen. Formal ist jeder Satz von NBG, der nur Mengen erwähnt, ein Satz von ZFC. Und unsere Interpretation von Klassen, wie sie durch Formeln gegeben sind, gibt uns eine Möglichkeit, jedes Modell von ZFC auf eines von NBG zu erweitern.

Die Tatsache, dass NBG gegenüber ZFC konservativ ist, ist in gewisser Weise eine ernsthafte Einschränkung, da wir den Begriff der Klasse etwas künstlich einschränken. Bei der Diskussion elementarer Einbettungsformulierungen großer kardinaler Axiome (was in der modernen Mengenlehre sehr verbreitet ist) kann die Diskussion beispielsweise in NBG durchgeführt werden, aber nicht auf die möglichst reibungslose Weise. In technischer Hinsicht ist das Verständnis-Axiom in NBG prädikativ, aber es ist schwer, dies zu rechtfertigen, wenn wir überhaupt richtigen Unterricht zulassen.

Die natürlichste Erweiterung von ZFC, um richtige Klassen zu behandeln, ist Morse-Kelley (MK). Hier ist das Verständnis uneingeschränkt, daher ist es natürlicher, Klassen durch übliche Operationen zu neuen zu kombinieren. Der Preis dafür ist, dass MK keine konservative Erweiterung von ZFC ist. Tatsächlich kann MK die Konsistenz von NBG (und damit von ZFC) beweisen. Davon abgesehen scheint MK der geeignete Rahmen zu sein, um die Äquipotenz von Klassen zu diskutieren.

Folgendes habe ich in dem oben erwähnten MO-Beitrag gesagt:

In Erweiterungen der Mengenlehre, in denen Klassen erlaubt sind (nicht nur formal wie in ZFC, sondern als tatsächliche Objekte wie in MK oder GB), wird manchmal vorgeschlagen, ein Axiom (glaube ich aufgrund von Von Neumann) hinzuzufügen, das besagt, dass zwei beliebige Klassen vorhanden sind stehen in Bijektion zueinander. Unter diesem Axiom wäre die "Kardinalität" einer richtigen Klasse ORD, die Klasse aller Ordnungszahlen. (Übrigens kann man durch Klassenzwang bei jeder richtigen Klasse eine Bijektion zwischen der Klasse und ORD hinzufügen, ohne Mengen hinzuzufügen, sodass diese Annahme keine Auswirkungen auf die eigentliche Mengentheorie hat.)

Ohne das Axiom von Neumann oder das Axiom der Wahl anzunehmen, kenne ich keinen vernünftigen Weg, um diesen Begriff zu verstehen, da wir jetzt einige richtige Klassen haben könnten, die "dünner" als andere oder sogar unvergleichlich sind. Natürlich könnten wir Modelle untersuchen, in denen dies geschieht (z. B. bei ZF arbeiten, davon ausgehen, dass es eine starke Unzugänglichkeit gibt$\kappa$, und überlegen$V_\kappa$als das Universum der Mengen, und$Def(V_\kappa)$im Sinne von Gödel (oder gar$V_{\kappa+1}$) als Sammlung von Klassen).

Lassen Sie mich das etwas erweitern. Ich argumentiere in ZFC, da dies das bekannteste Framework der drei oben genannten ist:

Erstens erlaubt uns die Klassenerzwingung, eine Bijektion dazwischen hinzuzufügen$V$Und$ORD$ohne Sätze hinzuzufügen. Im Wesentlichen "fädeln" wir uns durch die Klasse der Bijektionen zwischen Mengen und Ordnungszahlen. In der resultierenden Erweiterung haben wir keine Sets hinzugefügt, aber wir haben eine neue Klasse$G$. Die resultierende Struktur$(V,G,\in)$ist ein Modell der starken Version von ZFC, wo wir es zulassen$G$als Prädikat in Fällen des Ersetzungsaxioms erscheinen. Auch jede richtige Klasse$A$hier (im Sinne von "durch eine Formel definierbar") steht auch in Bijektion mit den Ordinalzahlen, und eine solche Bijektion ist leicht definierbar aus$A$Und$G$.

Dies zeigt, dass die Annahme, dass alle Klassen gleich groß sind, völlig harmlos ist: Durch Hinzufügen dieser Annahme können keine neuen Theoreme von ZFC bewiesen werden.

Das erhaltene Modell ist jedoch kein "natürliches" Modell von NBG, da G nicht definierbar ist.

Arturos Vorschlag ($V=L$) liefert uns Modelle, bei denen Bijektionen zwischen Klassen und den Ordnungszahlen definierbar sind. Es hat den Nachteil, dass V = L ziemlich einschränkend ist. Wie ich in den Kommentaren zu seiner Antwort erwähnt habe, gibt es eine Alternative: Wir können davon ausgehen$G$definierbar. Dies liegt daran, dass wir gegenüber jedem ZFC-Modell erzwingen können, wo ein neues Modell zu erwerben ist$V=HOD$(Andererseits einmal$V\ne L$wir können die Gleichheit nicht erzwingen).

$HOD$ist die Klasse der erblich ordinal definierbaren Mengen. Das bedeutet, dass$x\in HOD$impliziert, dass$x\subset HOD$, und das in HOD sein,$x$muss aus ordinalen Parametern definierbar sein. Natürlich$V=L$impliziert$V=HOD$, Aber$HOD$ist mit allen bekannten großen Kardinälen kompatibel, während$L$ist nicht. Darüber hinaus,$HOD$trägt eine definierbare Wohlordnung (im Ordnungstyp ORD), also wenn$V=HOD$, dann ist jede echte Klasse in Bijektion mit den Ordinalzahlen. Darüber hinaus,$V=HOD$ist äquivalent zur Aussage, dass es eine (definierbare) Bijektion zwischen gibt$V$Und$ORD$. Zumindest in ZFC kennzeichnet dies auf natürliche Weise, wenn alle richtigen Klassen die gleiche Größe haben (und es ist wirklich die einzige Möglichkeit, dass "Größen von richtigen Klassen" in ZFC frei diskutiert werden können).

Schließlich ist es konsequent, dass$V\ne HOD$, in welchem ​​Fall$V$Und$ORD$haben unterschiedliche Kardinalität im oben definierten ZFC-Sinne, und tatsächlich kann man arrangieren, dass es unvergleichliche "Größen" von echten Klassen gibt.

Die Antwort scheint von Ihrer Mengenlehre abzuhängen.

Insbesondere in einem Beitrag vom August 2006 insci.math , sagte Herman Rubin, dass wenn$\mathbf{V}=\mathbf{L}$(Goedel's Constructible Universe), dann ist jede richtige Klasse gleich (bijektiv mit) der Klasse aller Ordnungszahlen, also untereinander gleich, also haben Sie nur eine einzige "Größe" von richtigen Klassen.

Er sagte jedoch auch, dass es Modelle von ZFC mit verschiedenen Versionen des Axiom of Choice für richtige Klassen gibt und in einigen davon nicht alle richtigen Klassen gleich sind (selbst wenn Sie das Axiom of Choice für Sets annehmen).

Der Vollständigkeit halber: Was meinen wir mit Äquivalenz der richtigen Klassen? Gödel definierte die Äquivalenz von echten Klassen wie folgt: Für echte Klassen$X$Und$Y$,$X\sim Y$wenn und nur wenn es existiert$Z$so dass:

1. $Z$ist eine Relation (enthalten in$\mathbf{V}^2$);
2. $Z$ist zweimal unär ($Z$ist einwertig, ebenso wie seine Umkehrung);
3. Die Domäne von$Z$Ist$X$; Und
4. Der Definitionsbereich der Umkehrung von$Z$Ist$Y$.

Ein Modell, bei dem alle richtigen Klassen gleichwertig sind, ist das "Axiom der globalen Wahl", das besagt, dass es eine unäre Beziehung gibt$A$so dass für alle nichtleeren Mengen$X$, es existiert$y\in X$so dass$(X,y)\in A$. Dies gibt Goedel in seinem Beitrag zur Konsistenz von AC und GCH mit ZF an. Dies impliziert, dass jede Klasse mit einem Anfangssegment der Ordnungszahlen gleich ist, und da jedes richtige Anfangssegment der Ordnungszahlen eine Menge ist, muss eine richtige Klasse mit der richtigen Klasse aller Ordnungszahlen gleich sein, was das Ergebnis ergibt, dass alle richtigen Klassen sind Ausgestattet.