Einige mengentheoretische Beweise

Beim Lesen von „Understanding Analysis“ von Stephen Abbott bestand eine der Übungen darin, zu überprüfen, ob die folgende Behauptung richtig ist, und wenn ja, sie zu beweisen.

1. Wenn$A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq A_4 · · ·$alle Mengen sind, die unendlich viele Elemente enthalten, dann die Schnittmenge$\bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}} A_n$ist auch unendlich.

Es wäre eine große Hilfe, wenn jemand meinen Beweis durchlesen und mir sagen könnte, ob es irgendwelche Fehler gibt. Außerdem möchte ich wissen, ob es kohärent ist und ob es zu wenig/zu viele Details gibt.

Lemma:$\bigcap\limits_{n=1}^{k} A_n=\bigcap\limits_{n=1}^{k-1} A_n \cap A_k$

Lassen$x\in \bigcap\limits_{n=1}^{k} A_n$, dann per Definition von Schnittpunkt,$x\in A_1, x \in A_2...x\in A_{k}$. Somit$x\in A_k$, Und$x\in A_1, x\in A_2...x\in A_{k-1}$.Es folgt dem$\bigcap\limits_{n=1}^{k} A_n \subseteq\bigcap\limits_{n=1}^{k-1} A_n \cap A_k$. Lassen$x\in\bigcap\limits_{n=1}^{k-1} A_n \cap A_k$, dann per Definition von Schnittpunkt,$x\in A_k$, Und$x\in A_1,x\in A_2...x\in A_{k-1}$. Somit$x\in A_1,...,x\in A_k$. Daher$x\in \bigcap\limits_{n=1}^{k} A_n$. Daher$\bigcap\limits_{n=1}^{k} A_n \supseteq\bigcap\limits_{n=1}^{k-1} A_n \cap A_k$. Können wir schließen, dass$\bigcap\limits_{n=1}^{k} A_n = \bigcap\limits_{n=1}^{k-1} A_n \cap A_k$.

Zum Beweis von 1) verwenden wir mathematische Induktion. Lassen$S$sei eine Teilmenge von$\mathbb{N}$also wenn$k \in S$, Wenn$A_1 \supseteq A_2 · · ·\supseteq A_k$alle Mengen sind, die unendlich viele Elemente enthalten, dann die Schnittmenge$\bigcap\limits_{n=1}^{k} A_n$ist auch unendlich. Es ist trivial, dass dies der Fall ist, wenn$k=1$. Lass die Eigenschaft für einige erfüllt werden$k \in \mathbb{N}$, dann werden wir das beweisen$k+1$erfüllt auch diese Eigenschaft (und ist somit auch in$S$). Lassen$A_1 \supseteq A_2 · · ·\supseteq A_{k+1}$alle Mengen sein, die unendlich viele Elemente enthalten. Aus dem Lemma wissen wir das$\bigcap\limits_{n=1}^{k+1} A_n=\bigcap\limits_{n=1}^{k} A_n \cap A_{k+1}$. Außerdem,$\bigcap\limits_{n=1}^{k} A_n \cap A_{k+1}=A_{k+1}$, seit$A_1 \supseteq A_2 · · ·\supseteq A_{k+1}$. Somit$\bigcap\limits_{n=1}^{k+1} A_n=A_{k+1}$, und da$A_{k+1}$eine Menge mit unendlich vielen Elementen ist, also ist$\bigcap\limits_{n=1}^{k+1} A_n$. Somit$k+1 \in S$. Durch Induktion,$S = \mathbb{N}$. Daher, wenn$A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq A_4 · · ·$alle Mengen sind, die unendlich viele Elemente enthalten, dann die Schnittmenge$\bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}} A_n$ist auch unendlich.