einzigartige Permutationen

Das ist leicht zu sehen$Y$hat höchstens$n^2$Elemente. Wenn Sie mehr als haben$n^2$bestellt$n$-Tupel, dann teilen sich nach dem Schubfachprinzip zwei von ihnen die gleichen ersten beiden Komponenten.

Ob Sie immer erreichen können$n^2$ist mir nicht klar. Ich vermute, ich übersehe eine einfache Konstruktion. Jedenfalls für$n=2$wie Sie bemerken, können wir 4 erreichen$n=3$Es gibt viele Möglichkeiten, 9 zu erreichen:

$$\{{123,132,213,231,312,321,111,222,333\}}$$ ist ein Weg, ein anderer ist $$\{{112,121,211,223,232,322,331,313,133\}}$$ und ein anderer ist $$\{{111,122,133,212,223,231,313,321,332\}}$$

EDIT: Hier ist eine Lösung für$n=4$:

$$\matrix{1111&1234&1342&1423\cr2222&2143&2431&2314\cr3333&3412&3124&3241\cr4444&4321&4213&4132\cr}$$ Ich habe dies gefunden, indem ich das Feld von 4 Elementen verwendet habe, $F=\{{0,1,\alpha,\beta\}}$, und den zweidimensionalen Unterraum von nehmen $F^4$überspannt von $(1,1,1,1)$Und $(0,1,\alpha,\beta)$, und benennen Sie dann die Elemente von um $F$, 1, 2, 3, 4. Dies sollte funktionieren, wenn $n$ist die Ordnung eines endlichen Feldes, dh wenn $n$ist eine Urmacht. Aber vielleicht gibt es eine einfache Konstruktion, die ich nicht sehe, die für alle funktioniert $n$.

für zwei beliebige Permutationen$\sigma, \pi$und für jeden$i_0 \in \{1...n\}$

Wenn$\forall i \in \{1...n\}-\{i_0\}: \pi(i) = \sigma(i)$Dann$\pi = \sigma$

wir müssen das nur beweisen$\pi(i_0) = \sigma(i_0)$

Wenn$\pi(i_0) \neq \sigma(i_0)$

lassen$j = \pi(i_0)$

und lass$i_1$so sein$\sigma(i_1)=j$

$i_1 \neq i_0$wegen$\sigma(i_1)=\pi(i_0) \neq \sigma(i_0)$

seit$i_1 \neq i_0$also haben wir$\sigma(i_1)=\pi(i_1)$

also fanden wir den widerspruch$\pi(i_0)=\pi(i_1)$Weil$\pi$ist injektiv

Ich hoffe, dass dies hilft