Ellipsen mit Fokus und zwei Punkten

Question

Ellipsen mit Fokus und zwei Punkten

Mathematik
Kegelschnitte
analytische Geometrie

Prokop Hapala

Ich möchte alle Ellipsen finden, die 2 gegebene Punkte enthalten und einen Fokus am Ursprung (Null) haben . Alles in 2D-Ebene.

Es gibt mehrere mögliche Ansätze, aber ich bin mir nicht sicher, welcher der beste ist - beide scheinen ziemlich schwer algebraisch zu lösen.

unter Verwendung der Polargleichung relativ zum Fokus mit $(R_1,\phi_1),(R_2,\phi_2)$ , wobei es sich um Koordinaten von Punkten handelt $R_{1} = \frac{A (1 - e^{2})}{1 - e C Ö S (ϕ_{1} - θ)}$ $R_1 = \frac{a(1-e^2)}{1-ecos(\phi_1-\theta)}$ $R_{2} = \frac{A (1 - e^{2})}{1 - e C Ö S (ϕ_{2} - θ)}$ $R_2 = \frac{a(1-e^2)}{1-ecos(\phi_2-\theta)}$ dann für gegeben $\theta$ nach großer Halbachse auflösen $a$ und Exzentrizität $e$
Verwendung der Definition von Ellipse als eine Menge von Punkten mit gleichem Abstand von beiden Brennpunkten . Gegeben sind 2 Punkte kartesischer Koordinaten $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ und ein Schwerpunkt im Ursprung $(0,0)$ . Für jeden gegebenen Abstandsparameter $L$ nach Koordinaten des zweiten Fokus auflösen $(x_f,y_f)$ , $L = \sqrt{X_{1}^{2} + j_{2}^{2}} + \sqrt{(X_{1} - X_{F})^{2} + (j_{1} - j_{F})^{2}}$ $L = \sqrt{x_1^2 + y_2^2} + \sqrt{(x_1 - x_f)^2 + (y_1 - y_f)^2}$ $L = \sqrt{X_{2}^{2} + j_{2}^{2}} + \sqrt{(X_{2} - X_{F})^{2} + (j_{2} - j_{F})^{2}}$ $L = \sqrt{x_2^2 + y_2^2} + \sqrt{(x_2 - x_f)^2 + (y_2 - y_f)^2}$
Ich kann auch zuerst das Koordinatensystem (oder meine Eingabepunkte) um einen bestimmten Winkel drehen (was mein willkürlicher Parameter ist) und dann eine vereinfachte Ellipsengleichung verwenden, deren Hauptachse parallel zur x-Achse ist , die nur 2 Freiheitsgrade hat. Aber selbst nach dieser Drehung sehe ich keine große Vereinfachung der algebraischen Lösung.

Oder gibt es einen besseren Weg?

Die resultierenden Gleichungen sind ziemlich schwierig zu lösen. Ich frage mich, ob es einen Trick gibt, um es zu vereinfachen und eleganter zu machen.

Da ich es später in einen Rechencode implementieren würde, in dem es viele Male pro Sekunde berechnet würde, würde ich eine Lösung in Form einer schnellen numerischen Auswertung bevorzugen (vorzugsweise ohne goniometrische oder transzendente Funktionen).

Warum ich interessiert bin? - Ich brauche es für eine Optimierung der Orbitaltransfers für Raumschiffe, die die Sonne umkreisen. Ich habe auch in physical.stackexchange nachgefragt, und die Leute empfehlen mir, dass ich lieber in den Mathe-Bereich gehen sollte.

abiesu

Das ist ein ziemlich interessantes Problem. Beachten Sie die gegebenen Punkte

P_{1}, P_{2}

$P_1,P_2$ , mit sehr wenigen Ausnahmen können mindestens zwei nicht trivial unterschiedliche Ellipsen angegeben werden, die alle gültigen erfüllen

L

$L$ Wert. Ich arbeite noch an den Details, um Ihnen eine Antwort zu geben.

ben

Versuchen Sie, das Problem in der komplexen Ebene darzustellen.

Thalador

@prokop-hapala Hast du dein Problem gelöst? Ich habe genau das gleiche Problem, aber die unten gegebene Antwort hilft mir nicht wirklich! Können Sie erklären, wie Sie eine solche Ellipse finden?

Antworten (1)

Ellipsen mit Fokus und zwei Punkten

Das ist ein ziemlich interessantes Problem. Beachten Sie die gegebenen Punkte $P_1,P_2$ , mit sehr wenigen Ausnahmen können mindestens zwei nicht trivial unterschiedliche Ellipsen angegeben werden, die alle gültigen erfüllen $L$ Wert. Ich arbeite noch an den Details, um Ihnen eine Antwort zu geben.
Versuchen Sie, das Problem in der komplexen Ebene darzustellen.
@prokop-hapala Hast du dein Problem gelöst? Ich habe genau das gleiche Problem, aber die unten gegebene Antwort hilft mir nicht wirklich! Können Sie erklären, wie Sie eine solche Ellipse finden?

Kirill · Answer 1

Wenn $a$ ist die große Halbachse einer solchen Ellipse, und $F$ sein anderer Fokus, dann

| R_{1} | + | R_{1} - F | = 2 A = | R_{2} | + | R_{2} - F | .

$|R_1|+|R_1-F|=2a=|R_2|+|R_2-F|.$ Das eine vom anderen subtrahieren,

F

$F$ muss folgende Gleichung erfüllen:

| F - R_{1} | - | F - R_{2} | = | R_{2} | - | R_{1} | .

$|F-R_1|-|F-R_2|=|R_2|-|R_1|.$ Die Menge aller Punkte

F

$F$ die diese Gleichung erfüllen, ist eine Hyperbel mit Fokussen

R_{1}

$R_1$ Und

R_{2}

$R_2$ , und die große Halbachse

- \frac{1}{2} | | R_{1} | - | R_{2} | |

$-\frac12\big||R_1|-|R_2|\big|$ , und es ist einfach, Koordinaten von Punkten auf der Hyperbel mit Standardformeln zu finden (siehe z. B. den Mathworld-Link).

Ellipsen mit Fokus und zwei Punkten

Prokop Hapala

abiesu

ben

Thalador

Antworten (1)

Kirill

Jean-Claude Arbaut

Von einem Punkt auf einem gegebenen Kreis werden Tangenten an die Ellipse gezogen. Es muss der Ort des Kontaktakkords gefunden werden.

Eigenschaft von Ellipsen mit Normalen an den Endpunkten einer Fokussehne und dem Mittelpunkt dieser Sehne

Zeigen Sie, dass die Asymptoten einer Hyperbel ihre Tangenten an Unendlichkeitspunkten sind

Benötigen Sie eine Erklärung, was genau eine Leitlinie und ein Fokus sind?

Koordinatengeometrie: Der Ort des Mittelpunkts der normalen Sehne der Ellipse

Finden des Fußes der Senkrechten des Ellipsenmittelpunkts auf seiner variablen Tangente

Gleichung von drei Linien, die ein gleichseitiges Dreieck bilden.

Ortskurvenproblem auf Kreis und Parabel

Finden Sie Querachsen und konjugierte Hyperbeln

Ort des Mittelpunkts der Schnittpunkte von Tangenten an eine Ellipse