Epsilon-Delta Beweis einer unendlichen Grenze

Question

Epsilon-Delta Beweis einer unendlichen Grenze

Grenzen
Infinitesimalrechnung
Mathematik
Epsilon-Delta

Peter Allen

Bei der Suche in einigen meiner älteren Bücher bin ich auf diese spezielle Übung gestoßen:

Wenn $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}{\frac{f(x+1)}{f(x)}=1,}$ Beweise das $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}{\frac{f(x+4)}{f(x)}=1.}$

Jetzt habe ich es geschafft, dieses Problem mit einem Trick zu lösen, indem ich die Substitution ständig angewendet habe $x\to x+1$ . Also bekommen wir:

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}{\frac{f(x+2)}{f(x+1)}=1,} \displaystyle\lim_{x \to +\infty}{\frac{f(x+3)}{f(x+2)}=1,}$ Und $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}{\frac{f(x+4)}{f(x+3)}=1.}$ Schließlich,

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}{\frac{f(x+1)}{f(x)}\cdot\frac{f(x+2)}{f(x+1)}\cdot\frac{f(x+3)}{f(x+2)}\cdot\frac{f(x+4)}{f(x+3)}=\displaystyle\lim_{x \to +\infty}{\frac{f(x+4)}{f(x)}}}=1$ .

Aber ich suche nach etwas, das näher an der Definition von liegt $\epsilon-\delta$ und ich habe mich gefragt, ob das wirklich möglich ist. Ich habe gesucht, aber keine Lösung gefunden. Danke!

Brian Tun

Eine Idee wäre, die verschiedenen Werte von zu finden

δ

$\delta$ für die erste Grenze, bei

x, x + 1, x + 2, x + 3

$x, x+1, x+2, x+3$ , die eine Abweichung von ergeben

1

$1$ von nicht mehr als

\sqrt[4]{1 + ε}

$\sqrt[4]{1+\varepsilon}$ , oder etwas ähnliches. Dann, wenn du all das zusammen multiplizierst, bleibst du drinnen

ε

$\varepsilon$ von

1

$1$ . Ich habe vielleicht einige der Anpassungen falsch gemacht, aber das ist eine grundlegende Idee.

Brian Tun

Ups, ich denke eher als

δ

$\delta$ , das wäre

N

$N$ (oder wie auch immer man es nennen will). Aber gleiche Grundidee.

Peter Allen

@ BrianTung Äh, es spielt keine Rolle. Die Definitionen hängen ohnehin nicht von der Wahl des Buchstabens ab. Interessante Idee, aber ich bin mir nicht sicher, wie es funktioniert. Ich bin jetzt zu müde, um heute weiterzumachen.

Peter Allen

@LorentzianMcDonalds, ich bin mir nicht sicher, ob die

ϵ - δ

$\epsilon-\delta$ kann hier angewendet werden, da die Funktion beliebig ist.

Brian Tun

@LorentzianMcDonalds: Mir ist bewusst, dass der Buchstabe keine genaue Rolle spielt, aber

δ

$\delta$ wird normalerweise verwendet, um die halbe Breite des Intervalls um zu bezeichnen

x

$x$ , wohingegen

N

$N$ (oder etwas Ähnliches) wird verwendet, um einen Wert von anzugeben

x

$x$ darüber hinaus

f (x)

$f(x)$ ist immer drin

ε

$\varepsilon$ von

1

$1$ (in diesem Fall). Mit anderen Worten, dies sind Konventionen, die das Lesen von Mathematik erleichtern, ähnlich wie wir es normalerweise verwenden

n

$n$ sich auf eine ganze Zahl beziehen,

x

$x$ zu einem realen Wert,

z

$z$ zu einem komplexen Wert und so weiter.

Brian Tun

@PeterAllen: Es ist willkürlich, aber wir wissen, dass wir immer in was auch immer gelangen können

ε

$\varepsilon$ wir wollen von

1

$1$ mit

\frac{f (x + 1)}{f (x)}

$\frac{f(x+1)}{f(x)}$ , also sollten wir in der Lage sein, vier davon zu stapeln, um das entsprechende Limit zu erhalten

\frac{f (x + 4)}{f (x)}

$\frac{f(x+4)}{f(x)}$ .

Antworten (3)

Epsilon-Delta Beweis einer unendlichen Grenze

Eine Idee wäre, die verschiedenen Werte von zu finden $\delta$ für die erste Grenze, bei $x, x+1, x+2, x+3$ , die eine Abweichung von ergeben $1$ von nicht mehr als $\sqrt[4]{1+\varepsilon}$ , oder etwas ähnliches. Dann, wenn du all das zusammen multiplizierst, bleibst du drinnen $\varepsilon$ von $1$ . Ich habe vielleicht einige der Anpassungen falsch gemacht, aber das ist eine grundlegende Idee.
Ups, ich denke eher als $\delta$ , das wäre $N$ (oder wie auch immer man es nennen will). Aber gleiche Grundidee.
@ BrianTung Äh, es spielt keine Rolle. Die Definitionen hängen ohnehin nicht von der Wahl des Buchstabens ab. Interessante Idee, aber ich bin mir nicht sicher, wie es funktioniert. Ich bin jetzt zu müde, um heute weiterzumachen.
@LorentzianMcDonalds, ich bin mir nicht sicher, ob die $\epsilon-\delta$ kann hier angewendet werden, da die Funktion beliebig ist.
@LorentzianMcDonalds: Mir ist bewusst, dass der Buchstabe keine genaue Rolle spielt, aber $\delta$ wird normalerweise verwendet, um die halbe Breite des Intervalls um zu bezeichnen $x$ , wohingegen $N$ (oder etwas Ähnliches) wird verwendet, um einen Wert von anzugeben $x$ darüber hinaus $f(x)$ ist immer drin $\varepsilon$ von $1$ (in diesem Fall). Mit anderen Worten, dies sind Konventionen, die das Lesen von Mathematik erleichtern, ähnlich wie wir es normalerweise verwenden $n$ sich auf eine ganze Zahl beziehen, $x$ zu einem realen Wert, $z$ zu einem komplexen Wert und so weiter.
@PeterAllen: Es ist willkürlich, aber wir wissen, dass wir immer in was auch immer gelangen können $\varepsilon$ wir wollen von $1$ mit $\frac{f(x+1)}{f(x)}$ , also sollten wir in der Lage sein, vier davon zu stapeln, um das entsprechende Limit zu erhalten $\frac{f(x+4)}{f(x)}$ .

Ein Land · Answer 1

Dies vervollständigt gewissermaßen den Gedanken von @Brian Tung:

In der Tat ist die natürlichste Art, die Grenze zu sehen, die Art und Weise, wie Sie es getan haben:

lim_{X \to + \infty} \frac{F (X + 1)}{F (X)} \cdot \frac{F (X + 2)}{F (X + 1)} \cdot \frac{F (X + 3)}{F (X + 2)} \cdot \frac{F (X + 4)}{F (X + 3)} = 1

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}{\frac{f(x+1)}{f(x)}\cdot\frac{f(x+2)}{f(x+1)}\cdot\frac{f(x+3)}{f(x+2)}\cdot\frac{f(x+4)}{f(x+3)}}=1$ Lassen

ϵ > 0

$\epsilon>0$ . Nach Hypothese existiert

M > 0

$M>0$ groß so dass

(1 - ϵ)^{\frac{1}{4}} < \frac{f (x + 1)}{f (x)} < (1 + ϵ)^{\frac{1}{4}}

$(1-\epsilon)^\frac14<\frac{f(x+1)}{f(x)}<(1+\epsilon)^\frac14$ Wenn

x > M

$x>M$ . Ersetzen

x

$x$ mit

x + k

$x+k$ für

k = 1, 2, 3

$k=1,2,3$ , wir haben

(1 - ϵ)^{\frac{1}{4}} < \frac{F (X + k + 1)}{F (X + k)} < (1 + ϵ)^{\frac{1}{4}}

$(1-\epsilon)^\frac14<\frac{f(x+k+1)}{f(x+k)}<(1+\epsilon)^\frac14$ Wenn

x + k > x > M

$x+k>x>M$ . Daher wann

x > M

$x>M$ , wir haben

1 - ϵ < \frac{F (X + 1)}{F (X)} \cdot \frac{F (X + 2)}{F (X + 1)} \cdot \frac{F (X + 3)}{F (X + 2)} \cdot \frac{F (X + 4)}{F (X + 3)} < 1 + ϵ .

$1-\epsilon<{\frac{f(x+1)}{f(x)}\cdot\frac{f(x+2)}{f(x+1)}\cdot\frac{f(x+3)}{f(x+2)}\cdot\frac{f(x+4)}{f(x+3)}}<1+\epsilon.$

Ich habe eine Frage. Wie gehst du damit um $(1-\epsilon)^{1/4}$ für $\epsilon > 1$ ?
^Das ist nur Buchhaltung. Schreiben Sie den Beweis um mit $\epsilon' = \min(1,\epsilon),$ dann, wenn Sie eine finden $M$ so dass danach die Funktion innerhalb beschränkt ist $1 \pm \epsilon',$ dann ist es erst recht nach innen begrenzt $1 \pm \epsilon$ .

Hermis14 · Answer 2

Lassen $g(x) := f(x+1)/f(x)$ . Dann, $g(x+1)g(x) = f(x+2)/f(x)$ .

Wir betrachten nur den Fall $f(x+2)/f(x)$ , weil Ihr Fall leicht gezeigt werden kann, indem Sie einen ähnlichen Vorgang wiederholen.

Seit $\lim_{x\to\infty}g(x) = 1$ ,

\forall ϵ > 0 : \exists δ > 0 : \forall X > δ : | G (X) - 1 | < ϵ

$\forall \epsilon > 0: \exists \delta > 0: \forall x > \delta:|g(x)-1| < \epsilon$ Lassen

ϵ_{1} > 0

$\epsilon_1 > 0$ Und

a > 0

$a > 0$ . Dann ist da

δ_{1} > 0

$\delta_1 > 0$ so dass

\forall x > δ_{1} : | g (x) - 1 | < a ϵ_{1}

$\forall x > \delta_1:|g(x)-1| < a\epsilon_1$ .

Seit $x+1 > x > \delta_1$ , $|g(x+1) -1| < a\epsilon_1$ .

Andererseits,

(G (X + 1) - 1) (G (X) - 1) = G (X + 1) G (X) - G (X + 1) - G (X) + 1

$(g(x+1) -1)(g(x) - 1) = g(x+1)g(x)-g(x+1)-g(x) + 1$ oder gleichwertig,

G (X + 1) G (X) - 1 = (G (X + 1) - 1) (G (X) - 1) + G (X + 1) + G (X) - 2

$g(x+1)g(x) -1 = (g(x+1)-1)(g(x)-1) +g(x+1) + g(x) - 2$ Daher für alle

x > δ_{1}

$x > \delta_1$ ,

\begin{aligned} | G (X + 1) G (X) - 1 | & \leq | G (X + 1) - 1 | | G (X) - 1 | + | G (X + 1) - 1 | + | G (X) - 1 | \\ < A^{2} ϵ_{1}^{2} + 2 A ϵ_{1} \end{aligned}

$\begin{aligned} |g(x+1)g(x) -1| &\le |g(x+1)-1||g(x)-1| + |g(x+1) - 1| + |g(x) - 1|\\ &< a^2\epsilon_1^2 + 2a\epsilon_1 \end{aligned}$ Wir können wählen

a > 0

$a > 0$ so dass

a^{2} ϵ_{1}^{2} + 2 a ϵ_{1} \leq ϵ_{1}

$a^2\epsilon_1^2 + 2a\epsilon_1 \le \epsilon_1$ weil die linke Seite eine stetig steigende Funktion von ist

a

$a$ , die bei null ist

a = 0

$a = 0$ , und geht unendlich als

a \to \infty

$a \to \infty$ . Daher schließen wir das wann immer

x > δ_{1}

$x > \delta_1$ ,

| g (x + 1) g (x) - 1 | < ϵ_{1}

$|g(x+1)g(x)-1| < \epsilon_1$ . Das zeigt

lim_{x \to \infty} g (x + 1) g (x) = 1

$\lim_{x \to \infty} g(x+1)g(x) = 1$ .

Lassen $h(x) = g(x+1)g(x)$ und tun Sie dasselbe für $h$ .

Benutzer21820 · Answer 3

Ich möchte nur sagen, dass, wenn Sie einen Beweis haben, dass die Grenze eines Produkts das Produkt der Grenzen ist (wenn beide existieren), dieser Beweis dreimal kopiert und eingefügt werden kann, wobei jede Kopie entsprechend angepasst wird, so dass Sie eine erhalten Nachweis Ihrer Übung. Dies liegt daran, dass Ihre Lösung dieses Produktlemma einfach dreimal verwendet. Somit ergibt jeder ε-δ-Beweis dieses Lemmas einen ε-δ-Beweis Ihrer Übung. Dies wird auch als Beweisentfaltung bezeichnet . Wenn Sie etwas Saubereres als nur ungefaltete Proofs wollen, funktioniert der Ansatz von zugzug natürlich .

Andererseits sollten Sie nicht allzu scharf darauf sein, sich nur an die einfachen Definitionen zu halten und zu versuchen, die Verwendung von Lemmata zu vermeiden, da dies ein Rezept für lange und hässliche Beweise ist. Angenommen, Sie wurden stattdessen gebeten, Folgendes zu beweisen: $\def\lfrac#1#2{{\large\frac{#1}{#2}}}$

Wenn $\lim_{x→∞} \lfrac{f(x+8)}{f(x)} = 1$ Und $\lim_{x→∞} \lfrac{f(x+5)}{f(x)} = 1$ , Dann $\lim_{x→∞} \lfrac{f(x+1)}{f(x)} = 1$ .

Es wäre viel schwieriger, einen sauberen Beweis zu finden, der alles vermeidet, was wie das Produktlemma aussieht, und Sie würden nicht wirklich viel aus der Vermeidung des Lemmas lernen.

Epsilon-Delta Beweis einer unendlichen Grenze

Peter Allen

Brian Tun

Brian Tun

Peter Allen

Peter Allen

Brian Tun

Brian Tun

Antworten (3)

Ein Land

Hermis14

stochasticboy321

Hermis14

Benutzer21820

Was ist, wenn ϵϵ\epsilon in der ϵϵ\epsilon-δδ\delta-Definition von Grenzen unendlich ist?

Beweise, dass limx→∞xsin2xlimx→∞xsin2⁡x\lim\limits_{x \to \infty} x \sin^2 x nicht existiert.

Finden der Grenze anhand des Beispiels ihrer Epsilon-Delta-Definition

Beweisen Sie, dass das Limit nicht existiert, indem Sie die Epsilon-Delta-Definition verwenden

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