Erlaubt die leere Menge null oder eine Äquivalenzklasse?

Lassen ∼ sei eine Äquivalenzrelation auf ∅ (es muss tatsächlich die leere Relation sein). Tut ∅ / ∼ keine Elemente haben, oder eins, nämlich ∅ ? Anders ausgedrückt, tut es ∅ in eine Äquivalenzklasse aufgeteilt werden, nämlich ∅ , oder keine Äquivalenzklassen, weil Äquivalenzklassen relativ zu Elementen der ursprünglichen Menge definiert sind, von denen es keine gibt?

Ich denke, die Antwort ist letzteres, dh es gibt keine Äquivalenzklassen, weil Äquivalenzklassen per Definition nicht leer sein können. Aber ich muss zugeben, selbst nachdem ich die Definitionen überprüft habe , bin ich etwas verwirrt.

Anmerkung: Um die Übereinstimmung zwischen Äquivalenzrelationen und Partitionen zu wahren, definieren wir in der Mathematik Partitionen als Mengen nicht leerer Mengen. In der Informatik ist es üblich, Partitionen die leere Menge enthalten zu lassen. Also für (einige) Informatiker, ∅ hat zwei Partitionen, während es für (die meisten) Mathematiker nur eine hat. Die beiden Gemeinschaften stimmen darin überein, dass es nur eine Äquivalenzrelation auf der leeren Menge gibt.

Antworten (2)

Wenn ∼ ist eine Äquivalenzrelation auf X , Dann

X / ∼ = { [ X ] ∣ X ∈ X } ,
Wo [ X ] = { j ∈ X ∣ X ∼ j } ist die Äquivalenzklasse von X . Wenn X leer ist, gibt es keine X ∈ X , also gibt es keine Äquivalenzklassen:
∅ / ∼ = { [ X ] ∣ X ∈ ∅ } = ∅ .

Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation auf einer Menge A sind nicht leere Teilmengen von A . Wenn A = ∅ , gibt es keine nicht leeren Teilmengen, also keine Äquivalenzklassen. Mit anderen Worten

∅ / ∼ = ∅ .

Erlaubt die leere Menge null oder eine Äquivalenzklasse?
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