Ermitteln der anfänglichen Startgeschwindigkeit eines Balls, dessen Startwinkel bekannt ist und dessen Flugbahn einen bestimmten Punkt enthält (Berücksichtigung des Luftwiderstands)

Question

Ermitteln der anfänglichen Startgeschwindigkeit eines Balls, dessen Startwinkel bekannt ist und dessen Flugbahn einen bestimmten Punkt enthält (Berücksichtigung des Luftwiderstands)

Brandon Michelsen

Ich arbeite an einem Projekt, bei dem es darum geht, einen Ball durch einen Korb zu werfen (ähnlich wie Basketball, aber vorerst in kleinerem Maßstab).

Ich habe noch nicht mit dem Bau des Projekts begonnen, da ich zuerst die ganze Theorie ausarbeiten wollte. Das System, an das ich denke, verwendet jedoch eine einzelne Schwungradkonfiguration, die von einem Gleichstrommotor angetrieben wird und die Startgeschwindigkeit auf einen Nerf-Ball überträgt. Der Startwinkel des Balls wird von einem Servomotor gesteuert. Die Höhe des Korbs ist bekannt, und ich messe die Entfernung zum Korb mit einem Entfernungsmesser.

Für die Theorie wollte ich eine allgemeine Gleichung ausarbeiten, die die Startgeschwindigkeit des Balls bei gegebenem Startwinkel und X- und Y-Verschiebung des Korbs ermittelt (Y ist die Höhe des Korbs und X ist der gemessene Abstand zum Korb). . Ich habe das bereits gelöst, während ich den Luftwiderstand ignoriert habe, aber da die Nerf-Kugeln sehr leicht sind, denke ich, dass ich den Luftwiderstand berücksichtigen sollte.

Ich habe bereits die Gleichungen für die X- und Y-Verschiebung unter Berücksichtigung des Luftwiderstands. Sie sind unten angegeben:

X = v_{X 0} τ (1 - e^{\frac{- T}{τ}})

$x = v_{x0}\tau(1 - e^\frac{-t}{\tau})$

j = (v_{j 0} + v_{T}) τ (1 - e^{\frac{- T}{τ}}) - v_{T} T

$y = (v_{y0} + v_t)\tau(1 - e^\frac{-t}{\tau}) - v_tt$ Wo:

$v_{x0}$ = Horizontale Komponente der Startgeschwindigkeit

$v_{y0}$ = Vertikale Komponente der Startgeschwindigkeit

$t$ = Zeit

$\tau$ = Zeitkonstante (definiert durch $\frac{m}{k}$ Wo $m$ ist die Masse der Kugel und $k$ ist eine konstant definierte Widerstandsgleichung (dh $k = \frac{\rho AC_d}{2}$ ).

(Ich habe die obigen Gleichungen aus diesem Video, und die Gleichungen hängen vom linearen Luftwiderstand ab. Bitte lassen Sie mich wissen, ob ich stattdessen den quadratischen Luftwiderstand verwenden soll).

Jetzt möchte ich für das Projekt einen Weg finden, die obigen Gleichungen zu verwenden, um die anfängliche Startgeschwindigkeit zu berechnen, die zum Starten des Balls erforderlich ist, wenn die X- und Y-Verschiebung des Korbs und der anfängliche Startwinkel gegeben sind. Ich habe die obigen Gleichungen in die folgenden Gleichungen umgeordnet, um die Anfangskomponenten zu finden:

v_{X 0} = \frac{X}{τ (1 - e^{\frac{- T}{τ}})}

$v_{x0} = \frac{x}{\tau(1-e^\frac{-t}{\tau})}$

v_{j 0} = \frac{j + v_{T} T}{τ (1 - e^{\frac{- T}{τ}})} - v_{T}

$v_{y0} = \frac{y + v_tt}{\tau(1-e^\frac{-t}{\tau})}-v_t$

Kann ich also die obigen Gleichungen verwenden, um nach meiner Anfangsgeschwindigkeit zu lösen? Ich bin ein bisschen besorgt, dass die Gleichungen die Parameter meiner Flugbahn nicht vollständig definieren, um die anfängliche Startgeschwindigkeit zu lösen.

Gibt es auch eine bessere Möglichkeit, den Luftwiderstand zu berücksichtigen und gleichzeitig die Mathematik einfacher zu halten? Auch hier konnte ich es mit einer regulären parabolischen Flugbahn herausfinden, was relativ einfache Mathematik war. Gibt es ein paar Tricks, mit denen ich den Luftwiderstand anpassen kann, ohne komplizierte Berechnungen anzustellen?

Antworten (1)

Ermitteln der anfänglichen Startgeschwindigkeit eines Balls, dessen Startwinkel bekannt ist und dessen Flugbahn einen bestimmten Punkt enthält (Berücksichtigung des Luftwiderstands)

Philipp · Answer 1

Zunächst sollten Sie die explizite Form von schreiben $v_t$ in deiner zweiten Gleichung

v_{T} = v_{j 0} e^{- T / τ} - (1 - e^{- T / τ}) G τ .

$v_t=v_{y0}e^{-t/\tau}-(1-e^{-t/\tau})g\tau.$ Fügen Sie nun diese Gleichung zu Ihrem System hinzu:

\frac{v_{j 0}}{v_{X 0}} = bräunen θ,

$\frac{v_{y0}}{v_{x0}}=\tan\theta,$ Wo

θ

$\theta$ ist der Startwinkel. Sie haben 3 Gleichungen und 3 Unbekannte,

v_{x 0}

$v_{x0}$ ,

v_{y 0}

$v_{y0}$ Und

t

$t$ (Zeitpunkt des Aufpralls). Sie müssen (wahrscheinlich numerisch) nach lösen

v_{x 0}

$v_{x0}$ Und

v_{y 0}

$v_{y0}$ und berechnen Sie die Startgeschwindigkeit,

v_{0} = \sqrt{v_{X 0}^{2} + v_{j 0}^{2}} .

$v_0=\sqrt{v_{x0}^2+v_{y0}^2}.$

Eindrucksvoll! Danke schön! Das gilt auch für die explizite Form von $v_t$ die zweite Gleichung ersetzen? Könnte ich auch einstellen $t$ als Konstante (z. B. wenn ich den Aufprallzeitpunkt manuell einstellen möchte)? Und schließlich, was wäre ein guter Lösungsansatz für $v_x0$ Und $v_y0$ zahlenmäßig? Danke nochmal für deine Hilfe!
Sie sollten ersetzen $v_t$ in der Gleichung, nicht die vollständige Gleichung. Die Zeit $t$ kann berechnet werden, dh Sie können es nicht einstellen, es sei denn, Sie verlassen es $X$ oder $Y$ als unbekannt statt $t$ . Das numerische Lösen kann mit dem Newton-Verfahren erfolgen.
Also würde ich die Newton-Methode anwenden, um nach zu lösen $v_{x0}$ Und $v_{y0}$ separat? Und würde ich die gleiche Methode anwenden, um zu berechnen $t$ , oder gibt es eine bessere Methode? Dies löst auch die Startgeschwindigkeit, die den angegebenen Punkt enthält ( $x$ , $y$ ), richtig? Ich entschuldige mich für all die Fragen. Ich bin noch nicht vollständig in die Physik auf hohem Niveau eingeführt worden (zu diesem Zeitpunkt war dies alles Eigenforschung).
Ja, Sie können es für die drei Unbekannten verwenden und erhalten die Anfangsgeschwindigkeiten, die erforderlich sind, um den Punkt zu treffen, plus die Zeit des Aufpralls. Wenn numerische Methoden den Rahmen Ihres Projekts sprengen, können Sie Software wie Wolfram Alpha ausprobieren, um Ihre Gleichungen zu lösen.

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Brandon Michelsen

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