Ermitteln der Richtung (+)(−)(+)(−)(+) (-) mit Cosinus und Sinus

Der erste Schritt besteht darin, ein Koordinatensystem festzulegen. Sie können ein beliebiges Koordinatensystem auswählen, aber wenn Sie sich für ein bequemes entscheiden, werden die Berechnungen viel einfacher. Da Sie hier die Winkel zur Horizontalen angegeben haben, ist es natürlich, eine Koordinate auszuwählen (sagen wir$x$) entlang der Horizontalen und der Konvention halber nach rechts zeigen. Lassen Sie uns die andere Koordinate ($y$) senkrecht nach oben und der Ursprung, wo sich die Kräfte treffen.

Das Addieren von Kräften ist sehr einfach, genau wie bei Vektoren müssen Sie nur die Komponenten der Kräfte addieren:

$$\vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2=\begin{pmatrix}F_{1x}\\F_{1y}\\F_{1z}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}F_{2x}\\F_{2y}\\F_{2z}\end{pmatrix}$$

Dies funktioniert in allen Koordinatensystemen. Speziell in Ihrem Fall haben Sie alle Kräfte in einer 2D-Ebene, sodass Sie die dritte ignorieren können ($z$) Koordinaten.

Um die Komponenten der Kräfte zu finden, können Sie entweder:

(1) Nehmen Sie den Winkel immer zum Positiven$x$Richtung ($\phi_{x+}$) und dann brauchen Sie sich um keine Minuszeichen zu kümmern, da die Koordinaten sein werden$F_x=F\cos\phi_{x+}$Und$F_y=F\sin\phi_{x+}$. In Ihrem Fall wäre das z$F_{1x}=F_1\cos (180^\circ-45^\circ)$Und$F_{1y}=F_1\sin (180^\circ-45^\circ)$

oder (2) nehmen Sie die Projektion auf eine beliebige Achse und fügen Sie ein Minuszeichen hinzu, wenn diese Projektion in die negative Richtung der Achsen zeigt. In Ihrem Fall die Projektion von$\vec{F}_1$zur x-achse wäre$F_1\cos(45^\circ)$. Aus der Abbildung sehen Sie, dass dies in die negative Richtung zeigt, sodass die Vektorkomponente ein zusätzliches Minuszeichen erhält:$F_{1x}=-F_1\cos(45^\circ)$.

Wenn Sie dies alles getan haben, sollten Sie es getan haben$\vec{F}_1$Und$\vec{F}_2$in Koordinaten geschrieben, können Sie diese Koordinaten addieren, um die Koordinaten der resultierenden Kraft zu erhalten,$(F_x, F_y)$.

Auf die gleiche Weise, wie Sie die Komponenten von ausgedrückt haben$\vec{F}_1$Und$\vec{F}_2$bezüglich des Winkels müssen Sie diesen Vorgang nun umkehren, um den Winkel aus den Komponenten zu erhalten. Mit der ersten oben skizzierten Methode wissen Sie, dass die Beziehung zwischen dem Winkel zur positiven x-Richtung und den Koordinaten ist:

$$F_x=F\cos\theta\\ F_y=F\sin\theta$$

oder alternativ:

$$\tan\theta=\frac{F_y}{F_x}$$

wobei man bei Sonderfällen aufpassen muss wo$\cos\theta=0$

Da Sie die Koordinaten der resultierenden Kraft kennen, können Sie den Winkel aus diesen Gleichungen leicht ermitteln.

Der erste Schritt besteht darin, die F1- und F2-Vektoren in ihre x- und y-Komponenten zu zerlegen. Wenn eine x-Komponente nach Westen angewendet wird, ist sie negativ (dasselbe gilt für eine nach Süden angewendete y-Komponente, die dann negativ wäre).

Addiere dann die beiden x-Komponenten und die beiden y-Komponenten. Damit bleibt Ihnen eine Netto-y-Komponente und eine Netto-x-Komponente.

An dieser Stelle können Sie mit der x-Komponente und der y-Komponente ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Diese Hypotenuse ist der resultierende Vektor. Sie können ihre Größe mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Sie können den Winkel zwischen dem resultierenden Vektor und der x-Achse als Kosinusverhältnis berechnen:

cos theta = benachbart / Hypotenuse = x-Komponente / resultierender Vektor

theta = cos^-1 (x-Komponente / resultierender Vektor)

Dann setzen Sie einfach Ihre Werte ein, um nach Theta zu lösen. Wenn Sie den Winkel zwischen dem resultierenden Vektor und der y-Achse finden möchten, würden Sie Folgendes tun:

cos theta = benachbart / Hypotenuse = y-Komponente / resultierender Vektor

theta = cos^-1 (y-Komponente / resultierender Vektor)

Jetzt haben Sie den Winkel Ihres resultierenden Vektors entweder relativ zur x-Achse oder zur y-Achse.

Verwenden Sie die Formel:

$$\alpha=\tan^{-1}\left[\dfrac{F_{2}\sin\theta}{F_{1}+F_{2}\cos\theta} \right]$$

Wo:

$\alpha=$Winkel des resultierenden Vektors bezüglich des Vektors$F_{1}$

$\theta=$Winkel dazwischen$F_{1}$Und$F_{2}$