Erscheinen alle Gleichgewichtspunkte einer diskreten Abbildung im Bifurkationsdiagramm?

Die Frage im Titel ist vielleicht vage gestellt, also füge ich das konkrete Beispiel hinzu, das mich nervt.

Angenommen, wir haben eine Abbildung, die durch gegeben ist

N T + 1 = N T ⋅ exp ⁡ ( R ( 1 − N T − P N T / ( a 2 + N T 2 ) ) ) ,
Wo a Und R sind einige feste Konstanten. Wenn wir diese nichtlineare Abbildung plotten, erhalten wir so etwas (geplottet für R = 0,35 , a = 0,1 und von oben nach unten P 1 = 0,165 , P 2 = 0,235 , P 3 = 0,35 ). Die blaue Linie entspricht N T + 1 = N T

Grafik 1

Von hier aus ist ersichtlich, dass es 3 Regime gibt, in denen sich das System befinden kann, abhängig vom Wert des Parameters P :

  • Für niedrige Werte von P , das System hat 2 Fixpunkte (dargestellt bei 0 und bei ca. 0,8)
  • Für mittlere Werte von P , hat das System 4 Fixpunkte (dargestellt bei 0, A , B Und C )
  • Für hohe Werte von P , hat das System wieder 2 Fixpunkte (dargestellt bei 0 und bei ca. 0,03).

Ich habe mir die Freiheit genommen, für sie alle Spinnennetz-Diagramme zu zeichnen (außer N = 0 , was für die angegebenen Werte ein instabiler Fixpunkt zu sein scheint), aber ich zeige nur die für meine Frage wichtigen:

  1. Fall P = 0,235 , Startpunkt N 0 < N B , 2048 Iterationen zeigen, dass es sich um einen Umlaufpunkt handelt C .

Grafik 2

  1. Gleicher Fall, diesmal ist der Startpunkt N 0 > N B Das System tendiert also zum Punkt A , aber viel schneller.

Grafik 3

Das schien zunächst seltsam, also beschloss ich, das Bifurkationsdiagramm und den Lyapunov-Exponenten von Werten zu zeichnen P :

Bifurkationsdiagramm (Punkte sind danach ziemlich dicht P = 0,4 , daher ist es nach diesem Punkt nicht mehr so ​​​​zuverlässig für den Vergleich mit dem Lyapunov-Exponenten):

Grafik 4

Lyapunov-Exponent:

Grafik 5

Die meisten Schlussfolgerungen, die ich vor dem Zeichnen der letzten beiden Diagramme gezogen habe, wurden bestätigt, aber ein Problem bleibt bestehen: im Mittel P Regime ( P = 0,235 ), zeigt das Bifurkationsdiagramm, dass das System nur einen stabilen Zustand hat (den höheren, Punkt A ), weigert sich aber, den anderen anzuerkennen ( C ), obwohl das Spinnennetzdiagramm zeigt, dass es wahrscheinlich stabil ist. Nicht nur das, der Lyapunov-Exponent liegt für diesen Punkt bei etwa -2, und ich bin mir ziemlich sicher, dass der Graph genau ist (er wird für die ersten 1000 Terme in der Lyapunov-Summe mit einem diskreten Schritt von 1/10000 gezeichnet).

Mein Hauptproblem ist also: Zeigt das Verzweigungsdiagramm alle Gleichgewichtspunkte, die von einer Vielzahl von Ausgangspunkten für einen bestimmten Wert des Verzweigungsparameters zugänglich sind? In diesem Fall, ob das System gelandet ist A oder C hing nur von der Anfangsbedingung ab, nämlich N 0 < N B oder N 0 > N B .

Für die Regime mit doppelter Periode und chaotischen Regimen habe ich neben anderen korrekten Vorhersagen die richtigen Spinnennetzdiagramme erhalten (das System springt zwischen zwei verschiedenen Punkten bzw. an keinem Punkt, sodass ich überzeugt bin, dass der Fehler nicht in meiner Codierung liegt. Jeder Einblick in diese Angelegenheit wäre sehr willkommen.

BEARBEITEN: Fühlen Sie sich frei, dies zu math.se zu migrieren, wenn Sie dies nicht für angemessen halten. Die Frage ergibt sich aus einem physikalischen Problem, aber ich verstehe, wenn es als nicht zum Thema gehörend angesehen wird

EDIT # 2: Wie vorgeschlagen, hier ist die vergrößerte Version des Bifurkationsdiagramms im Intervall von P = 0,11 Zu P = 0,5

Verzweigung vergrößert

Welche Art von Software oder Algorithmus verwenden Sie zum Zeichnen des Bifurkationsdiagramms? Dies scheint ein numerisches / Interpretationsproblem zu sein. Es wäre auch interessant, das Bifurkationsdiagramm nur aus zu sehen P = 0,25 weil der chaotische Teil für niedriges P irgendwie die Show stiehlt.
Ja, es ist eine Art Interpretationsproblem, obwohl es möglich ist, dass ich das Thema nicht gut genug verstehe. Ich habe alle Graphen (einschließlich des Bifurkationsdiagramms) in Sage gezeichnet, einem symbolischen Open-Source-Programmierpaket ähnlich wie Python. Bei Bedarf kann ich den Code zur Verfügung stellen, aber ich denke nicht, dass das notwendig sein wird. Ich werde der Frage auch das Bifurkationsdiagramm für einen kleineren Bereich anhängen, danke für den Hinweis.

Antworten (1)

Ok, ich kenne den Sage-Algorithmus nicht, aber ich werde eine Vermutung darüber anstellen, was passiert. Sie müssen die Vermutung durch weitere numerische Untersuchungen verifizieren. Ich gehe davon aus, dass der Sage-Algorithmus optimal für Verzweigungen eines einzelnen Gleichgewichts funktioniert und auf Probleme stoßen kann, wie wir sie hier sehen, wenn es um Gleichgewichte (AKA-Fixpunkte) geht, die mit mehr als einem Punkt verbunden sind.

Was Sie auf Ihrem Bifurkationsdiagramm sehen P > 0,26 ist eigentlich eine 2-Punkt-Schwingung um das instabile Gleichgewicht in C (ein einfacher Bifurkationsalgorithmus zeigt keine instabilen Fixpunkte). Der Grund, warum diese Schwingung zu konvergieren scheint C liegt wohl daran das die Schwingung immer sehr nah ist C .

Bei P ≈ 0,26 die Kartenkurve N T + 1 ( N T ) berührt die N T + 1 = N T Linie, die Gleichgewichte A Und B entstehen als "Tangentenverzweigung" für P < 0,26 und dies verwirrt den Sage-Algorithmus, um sich von der Oszillation zu verschieben C Zu A . Diese Verwirrung zeigt sich als vertikale Linie bei P ≈ 0,26 auf deinem Diagramm. (Alternativ könnte es ein kurzes Chaosfenster geben.) Auch hier kann das Bifurkationsdiagramm das instabile Gleichgewicht nicht zeigen B was als "unterer Ast" auf der tangentialen Gabelung erscheinen würde, wie für gesehen P < 0,26 . Um diese Vermutung zu überprüfen, können Sie das unter überprüfen P ≈ 0,26 sowohl A als auch B tauchen auf.

Das Problem ist also wahrscheinlich, dass der Sage-Algorithmus versucht, Rechenzeit zu sparen, indem er nur in der Nähe der vorherigen Punkte auf dem Bifurkationsdiagramm sucht, dabei aber Teile des Diagramms auslässt, die vollständig auf ein anderes Gleichgewicht zurückzuführen sind. Um dieses Problem zu beheben, müssen Sie Sage einfach anders einrichten oder eine andere Software verwenden. (Es ist nicht schwierig, ein ineffizientes, aber fast ausfallsicheres Programm zu schreiben, das das Diagramm zeichnet, indem es einfach einen Haufen dicht platzierter zufälliger Anfangsbedingungen aufnimmt und einfach zeigt, wo sie sich nach einer großen Anzahl von Iterationen für jeden niederlassen P .)

Gute Antwort. Ihre ersten beiden Absätze sind einige der Schlussfolgerungen, die ich bereits gezogen, aber nicht in die Frage aufgenommen habe, da ich das Thema eingrenzen wollte. Trotzdem ist es beruhigend, ähnliche Gedanken von einer anderen Person zu sehen. Zur Antwort: Momentan habe ich keine Zeit, aber gleich morgen früh überarbeite ich den Plot-Algorithmus. Ich bin nicht wirklich davon überzeugt, dass das Problem dort liegt (meine Intuition sagt mir, dass es ein konzeptionelles Problem ist, kein Plotfehler, der aus der diskontinuierlichen Ankunft eines neuen Gleichgewichts stammt), aber es ist einen Versuch wert. Fürs Erste +1 von mir.
Nach ein paar Jahren kehrte ich zu dieser Frage zurück und kam zu dem Schluss, dass Ihre Antwort richtig war - nach einigen Experimenten stellte sich heraus, dass Punkt C tatsächlich ein instabiler Fixpunkt ist (mit einer stabilen Umlaufbahn um ihn herum, der aber nicht in der Grafik angezeigt wird wegen des einfachen Algorithmus).
Erscheinen alle Gleichgewichtspunkte einer diskreten Abbildung im Bifurkationsdiagramm?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v