Existenz eines neutralen Elements

Ich habe eine Frage zu folgender Übung:

Lassen ∗ sei die auf definierte binäre Operation R von:

X ∗ j = X j + ( X 2 − 1 ) ( j 2 − 1 )
∀ X , j ∈ R .

Zeige, dass ∗ einen Neutralleiter hat und diesen explizit bestimmen.

Das habe ich bereits bewiesen ∗ ist kommutativ, also reicht es nur, das zu beweisen ∗ hat neutral auf einer Seite. Also suchen wir e so dass X ∗ e = X für alle X ∈ R .

Bei der Entwicklung haben wir:

X ∗ e = X e + ( X 2 − 1 ) ( e 2 − 1 ) = X ⟺ X ( e − 1 ) + ( X 2 − 1 ) ( e − 1 ) ( e + 1 ) = 0
⟺ ( e − 1 ) ( X + ( X 2 − 1 ) ( e + 1 ) ) = 0 ⟺ e − 1 = 0  oder  ( X 2 − 1 ) ( e + 1 ) + X = 0
⟺ e = 1  oder  e = 1 − X − X 2 X 2 − 1

Dann wäre das neutrale Element in jedem Fall 1 X 2 − 1 = 0 Und 1 − X − X 2 X 2 − 1 in einem anderen Fall.

Ist das richtig?

Das Identitätselement sollte nicht davon abhängen X sondern ein spezifisches Element von sein R .

Antworten (3)

Anderer Ansatz

Wenn e ein neutrales Element ist, dann notwendigerweise

0 ∗ e = 0

oder

− ( e 2 − 1 ) = 0

So

e = ± 1

Das müssen wir nur prüfen e = 1 erfüllt

( ∀ X ∈ R ) e ∗ X = X

Danke für den Ansatz

Wie Sie geschrieben haben, suchen wir e so dass X ∗ e = X für alle X ∈ R .

Du musst nicht finden e bezüglich X . Sie brauchen eine reelle Zahl e das funktioniert für alle Werte von X .

Da der gesuchte Wert mit jedem funktionieren sollte X , sollten Sie nach einem Wert von suchen X das vereinfacht die Suche nach solchen e .

Schau, was passiert, wenn wir uns entscheiden X = 1 . Dann e befriedigen soll 1 ∗ e = 1 . Das ist 1 ⋅ e + ( 1 2 − 1 ) ( e 2 − 1 ) = 1 das reduziert sich auf e = 1 . Sobald du das gefunden hast e = 1 funktioniert für X = 1 , überprüfen Sie das einfach e = 1 funktioniert für alle X :

X ∗ 1 = X ⋅ 1 + ( X 2 − 1 ) ( 1 2 − 1 ) = X

Vielen Dank, Ihre Antwort ergänzt die anderen perfekt.

Es kann nur ein neutrales Element geben. Und das folgt aus Ihren Berechnungen e = 1 wird funktionieren.

Danke für die Eingabe
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