Fallstudie zur absoluten Wertungleichheit

Okay, ich habe online und auf Stackexchange viel recherchiert, um absolute Wertungleichungen zu lösen.

Ich habe hier in einer Antwort gelesen, dass wir, wenn wir in verschiedenen Fällen unterschiedliche Wertesätze haben, Vereinigung nehmen , wenn die Ungleichheit größer als ist, und Schnittmenge nehmen , wenn die Ungleichheit kleiner als ist . Diese Logik hat fast alle meine Probleme richtig gelöst, aber ich bin auf eine Frage gestoßen, die eine Ausnahme von dieser Regel zu sein scheint .

( X 2 − 7 | X | + 10 ) ( X 2 − 6 X + 9 ) < 0

Wie wir sehen, ist der Nenner notwendigerweise immer positiv, außer für X = 3 , also wird es die Ungleichheit im Allgemeinen nicht beeinflussen, beim Lösen der beiden Fälle, einen beim normalen Öffnen des Mods und den anderen beim Öffnen mit einem negativen Vorzeichen, habe ich zwei Fälle wie folgt.

X ∈ ( − 2 , − 5 ) Und X ∈ ( 2 , 3 ) ∪ ( 3 , 5 )

Nun sollte gemäß der Regel die Antwort der Schnittpunkt der beiden Fälle sein, da das Ungleichheitszeichen in der ursprünglichen Aufgabe kleiner als ist . Die Antwort in meinem Buch kommt jedoch bei der Übernahme der Gewerkschaft.

Bitte lassen Sie mich einfach wissen, was schief läuft, und wenn diese Regel nicht immer funktioniert, gibt es eine solide und rein logische Regel, die ich blind für jedes Problem anwenden kann, ohne die Werte überprüfen zu müssen, um herauszufinden, ob ich Union nehmen soll oder Kreuzung? Bitte helft mir Jungs, ich werde buchstäblich verrückt deswegen.

Zum Schluss vielen Dank für Ihre Geduld und Ihr Interesse an dieser Abfrage . Vielen Dank, dass Sie mir Ihre kostbare Zeit geschenkt haben.

Ich nehme an, Sie sehen zu − 7 | X | < − X 2 − 10 ; dies ist keine "Kreuzung" (wegen des Negativs auf der linken Seite). Trage es in das Formular ein 7 | X | > X 2 + 10 um eine "Union" zu sehen, sollte verwendet werden (insbesondere 7 X > X 2 + 10 oder 7 X < − X 2 − 10 ).
Ja, ich sehe es jetzt, aber die Regel besagte, die Ungleichheitszeichen in der ursprünglichen Form des Problems zu beachten.
@ David Mitra, was Sie also eigentlich sagen, ist, dass ich zur Beobachtung der Ungleichheitszeichen immer überprüfen und sicherstellen sollte, dass mein Modulausdruck ein positives Vorzeichen hat? Ist es so?
Ja; Sie wollen zB entweder | X | < S Ö M e T H ich N G , oder | X | > S Ö M e T H ich N G , bevor Sie das entsprechende Formular schreiben.
Danke David. Eine letzte zu klärende Frage.
Wie gehe ich vor und finde das in diesem Problem heraus? X 2 − | X | − 12 X − 3 > 2 X . Wie nehme ich die | X | Begriff in Betracht in diesem Problem?
Kann man mit Sicherheit sagen, dass sich die Regel, die ich zuvor beschrieben habe, ins komplette Gegenteil verkehrt, wenn der Modulus-Term in der ursprünglichen Aufgabe ein negatives Vorzeichen hat?
Sicher oder nicht, ich glaube nicht, dass es eine gute Idee ist, so über die Dinge zu denken. Versuchen Sie einfach immer, die Ungleichung genau in der Form zu erhalten , die die Regel vorgibt. Ihre zweite Aufgabe ist etwas komplizierter, da der Nenner beide Zeichen annehmen kann. Teilen Sie es zuerst in Fälle auf: der Fall, wenn X > 3 und der Fall wann X < 3 . Für den ersten Fall lautet Ihre Antwort " X > 3 Und X in der Lösungsmenge von X 2 − | X | − 12 > 2 X ( X − 3 ) ".
David, kannst du eine Frage vollständig für mich lösen, damit ich eine Vorstellung davon habe, wie die Dinge wirklich gemacht werden? | X + 3 | + X X + 2 > 1
Fall 1: X + 2 > 0 . Dann
| X + 3 | + X X + 2 > 1 ⟺ | X + 3 | + X > X + 2 ⟺ | X + 3 | > 2 ⟺ X + 3 > 2   Ö R   X + 3 < − 2 ⟺ X > − 1   Ö R   X < − 5.
Also ist die Lösungsmenge für Fall 1 X > − 1 (da wir im Fall 1 haben X > − 2 ). Lösen Sie nun nach dem Fall when auf X + 2 < 0 ... Die endgültige Antwort ist die Vereinigung der Lösungsmengen für die beiden Fälle.
Können Sie auch die endgültige Antwort schreiben? Was auch immer Sie bekommen? Weil meine endgültigen Antworten nicht mit denen des Buches übereinstimmen. Könnten Sie auch Ihre Syntax korrigieren? Es ist unlesbar.

Antworten (1)

Wir können die Intervallmethode verwenden.

Wir müssen lösen

( | X | − 5 ) ( | X | − 2 ) ( X − 3 ) 2 < 0.
( | X | − 5 ) ( | X | − 2 ) = 0 für X ∈ { ± 5 , ± 2 } Und ( X − 3 ) 2 = 0 für X = 3 .

Jetzt können Sie Folgendes tun.

  1. Zeichnen Sie die X -Achsen und trage dort die Punkte ein: − 5 , − 2 , 2 , 3 Und 5 ;

  2. Nehmen Sie das richtige Intervall ( 5 , + ∞ ) und definieren das Vorzeichen unserer Funktion auf diesem Intervall.

Leicht zu sehen, dass das Zeichen ist + .

  1. Wenn nun ein Grad des Punktes ungerade ist, dann wird das Vorzeichen geändert, während wenn der Grad des Punktes gerade ist, das Vorzeichen nicht geändert wird.

Somit erhalten wir folgende Zeichen:

+ , − , + , − , − , + ,
was die Antwort gibt:
( − 5 , − 2 ) ∪ ( 2 , 3 ) ∪ ( 3 , 5 ) .

Diese Methode bietet die Möglichkeit, die Antwort sofort ohne Unterscheidung zwischen den Fällen zu schreiben.

Wie machst du das? Kann ich diese Technik irgendwo lernen? Lass es mich wissen, bitte.
Außerdem habe ich diese vorherige Frage von mir bearbeitet. Ich habe ein Bild hochgeladen, das meine Bemühungen zeigt. Würden Sie mir bitte mitteilen, was ich da falsch mache?
Ja, natürlich. Ich werde versuchen zu erklären. Es ist eine sehr nützliche und einfache Methode, aber schwer genug, dies im Netz zu erklären.
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