Finden der Ableitungen unter Verwendung von Limits. Was tun, wenn Sie ein Limit innerhalb eines Limits haben?

Die zweite Ableitung ist durch die erste Ableitung definiert. Sagen Sie, Sie haben$f:D \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$und für jeden$x \in \mathring{D}$wir definieren$f'(x)$wie du es getan hast. (Falls Sie es nicht kennen$\mathring{D}$, es bedeutet das Innere von$D$, nämlich die Menge von Punkten, die ein offenes Intervall um sich herum haben, das auch in enthalten ist$D$. Wir tun dies, weil es nicht wirklich sinnvoll ist, die Änderungsrate an Punkten in der Domäne zu messen, die "isoliert" sind). Allerdings für einen Fixpunkt$x$, die Grenze in der Definition von$f'(x)$muss nicht existieren (in der Tat meistens nicht, und in diesem Fall ist die Funktion an diesem Punkt nicht differenzierbar **; nehmen Sie zum Beispiel die Funktion$x \rightarrow \left\lvert x \right\rvert$. Die Grenze existiert an jedem Punkt$x \neq 0$, tut es aber nicht$x=0$).

Nimm nun die Menge aller Punkte, für die diese Grenze existiert, dh let$E := \left\lbrace x \in D : f'(x) \mathrm{ exists} \right\rbrace$. Jetzt für alle$x \in \mathring{E}$, können wir definieren$\displaystyle f''(x):=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}$. In dieser Definition$f''(x)$wird einfach als Standardableitung der Funktion f' behandelt, die für alle$x \in E$gibt Ihnen die Ausgabe$f'(x)$. Nochmal,$f''(x)$existiert möglicherweise nicht für einige (oder einige)$x \in E$. Der Unterschied zwischen dieser und Ihrer Definition von$f''(x)$ist subtil, aber entscheidend: Was Ihre zweite Definition sagt, ist: (für$x \in D$) Nehmen Sie zuerst die Grenzen$\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+2h)-f(x+h)}{h}$Und$\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$; seit$x$festgelegt ist, erhalten Sie zwei Konstanten , die beide zufällig sind$f'(x)$, also werden sie tatsächlich subtrahieren$0$und so kommen Sie in Ihre Definition$f''(x)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{0}{h} = 0$; daher würden Sie bekommen, dass die zweite Ableitung ist$0$an jedem Punkt für jede Funktion, was sicherlich nicht der Fall ist.

Was Sie getan haben, ist fast in Ordnung, aber Sie sollten verschiedene Symbole für verschiedene Limitoperatoren verwenden

$$f''(a) =\lim_{h\to 0}\dfrac{\lim_{k\to 0}\dfrac{f(a+h+k)-f(a+h)}{k}-\lim_{l\to 0}\dfrac{f(a+l)-f(a)}{l}}{h}$$ Wenn Sie jedoch versuchen, eine Definition von zu erreichen$f''$allein in Bezug auf$f$als eine Art kompliziertes Limit, dann wird das nicht funktionieren.

Warum?? Lassen Sie uns die Anforderungen der Definition von Derivaten als Limit verstehen. Als Voraussetzung müssen wir haben$f$definiert in einer bestimmten Nachbarschaft von$a$so dass der Ausdruck unter Grenze verwendet für$f'(a)$macht Sinn. Also um zu definieren$f''(a)$Wir müssen haben$f'$definiert in irgendeiner Nachbarschaft von$a$. Nun, diese Anforderung kann nicht mit einer Definition wie erfüllt werden

$$f''(a) =\lim_{h\to 0}g(a,h)$$ weil wir es im Wesentlichen nur mit der Nachbarschaft von zu tun haben$a$und es kann uns nichts über das Verhalten einer Funktion an anderen Punkten als garantieren$a$.