Finden Sie die Dreiecksmatrix und die Determinante.

Ich habe eine 4x4-Matrix und möchte die Dreiecksmatrix finden (Einträge in der unteren Hälfte sind Null).

A = [ 2 − 8 6 8 3 − 9 5 10 − 3 0 1 − 2 1 − 4 0 6 ]

Hier sind die elementaren Zeilenoperationen, die ich durchgeführt habe, um sie in Dreiecksform zu bringen.

Reihe vertausche Reihe 1 und Reihe 4

R 2 − 3 ⋅ R 1 ersetzen R 2

R 3 + 3 ⋅ R 1 ersetzen R 3

R 4 − 2 ⋅ R 1 ersetzen R 4

Ich bekomme diese Matrix

A = − [ 1 − 4 0 6 0 3 5 − 8 0 − 12 1 16 0 0 6 − 4 ]

Ich habe es dann getan 4 ⋅ R 2 + R 3 ersetzen R 3 und bekam

A = − [ 1 − 4 0 6 0 3 5 − 8 0 0 21 − 16 0 0 6 − 4 ]

Ich habe es dann getan − 21 ⋅ R 4 + 6 ⋅ R 3 ersetzen R 4 und bekam

A = − [ 1 − 4 0 6 0 3 5 − 8 0 0 21 − 16 0 0 0 − 12 ]

Ich bin mir nicht sicher, ob ich das richtig gemacht habe, aber die Determinante der Matrix sollte -36 sein. Wenn ich die diagonalen Einträge multipliziere, ist es nicht -36. Ich kann nicht herausfinden, was ich falsch mache.

Antworten (2)

"Ich habe dann -21*Reihe 4 + 6*Reihe 3 gemacht, um Reihe 4 zu ersetzen und bekam"

Dies ist eine bestimmende Änderungsoperation und keine elementare Operation.

Schreib das nicht A entspricht etwas, das nicht ist A .

Wenn Sie dort ansetzen, wo Sie einen Fehler gemacht haben, und dieselbe Idee verwenden, die Sie hatten, erhalten Sie Folgendes:

[ 1 − 4 0 6 0 3 5 − 8 0 0 21 − 16 0 0 6 − 4 ] ⇝ [ 1 − 4 0 6 0 3 5 − 8 0 0 6 ⋅ 21 − 6 ⋅ 16 0 0 − 21 ⋅ 6 ( − 21 ) ⋅ ( − 4 ) ] ⇝ [ 1 − 4 0 6 0 3 5 − 8 0 0 6 ⋅ 21 − 16 0 0 0 − 12 ] .

Die richtige Vergütung zu erzielen

det ( A ) = − 1 ⋅ 3 ⋅ ( 6 ⋅ 21 ) ⋅ ( − 12 ) − 21 ⋅ 6 = − 36.

Ein Teil des Satzes in meinem Buch besagt: Wenn eine Reihe von A mit k multipliziert wird, um eine Matrix B zu erzeugen, dann ist det B gleich k det A. Ich glaube, das haben Sie verwendet, aber ich kann es anscheinend nicht verstehen. Könntest du mir das erklären?
Lassen X sei die erste Matrix in meiner Antwort und Y der Zweite. In der ersten ⇝ man bekommt det ( Y ) = 6 ⋅ ( − 21 ) ⋅ det ( X ) , Deshalb det ( X ) = det ( Y ) − 21 ⋅ 6 .
Ahh, ich verstehe, Sie haben die Zeilen 3 und 4 in einem separaten Schritt mit Konstanten multipliziert und dann addiert.
@Kot Ja, mein erstes ⇝ ist eigentlich zwei elementare Operationen kombiniert.

"Ich habe dann −21⋅r4+6⋅r3 gemacht, um r4 zu ersetzen, und bekam"..

Immer wenn wir Zeilenoperationen in einer bestimmten Zeile durchführen, sollten die Koeffizienten, die wir in derselben Zeile multiplizieren, als Divisor mit Vorzeichen außerhalb der Determinante genommen werden. Zum Beispiel haben Sie eine Matrix A und ihre Determinante ist |A|

Wenn wir die folgende Operation durchführen, R3 -> 3 R2 - 5R3 Die Operation muss verarbeitet werden, indem (-1/5) nach außen genommen wird. Das Konzept ist, dass wir durch diese Operation indirekt die Zeile 3 mit (-5) multiplizieren. Wir müssen uns keine Gedanken über den Multiplikator 3 mit R2 machen, da er den Determinantenwert nicht beeinflusst (wir ändern die Zeile 3, daher werden die Koeffizienten der verbleibenden Zeile |A| nicht beeinflussen).

In Ihrem Fall hatten die Zeilenoperationen bis zum letzten Schritt keine Koeffizienten für die jeweiligen Zeilenänderungen. Im letzten Schritt haben Sie
R4 -> -21 R4 + 6 R3 gemacht. Sie sollten also (-1/21) nach draußen nehmen. Nach dem Herausnehmen sieht die Determinantenberechnung wie folgt aus:

|A| = - (-1/21) (1) (3) (21) (-12) = -36

Finden Sie die Dreiecksmatrix und die Determinante.
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