Finden von R für die maximale Leistung, die an R geliefert werden kann, und Bestimmen der maximalen Leistung

Verwenden Sie Thevenin, mit$\small R$als Last. Bestimmen$\small R_{TH}$(alle Quellen ausschalten); dann wird die maximale Kraftübertragung sein, wenn$\small R=R_{TH}$. Keine Notwendigkeit zu bestimmen$\small V_{TH}$oder$\small I_{SC}$.

Siehe Update Nr. 1 unten. Meine ursprüngliche Antwort (unmittelbar nach diesem Absatz) geht davon aus, dass die spannungsgesteuerte Spannungsquelle in Ihrem Schaltplan eine bestimmte Polarität hat. Wenn Sie den Artikel Dependent Sources and Thevenin's Theorem lesen, ist ihre Konvention für die Polarität der abhängigen Stromquelle etwas kontraintuitiv (zumindest für mich), aber die Anwendung dieser Konvention auf Ihre Schaltung ergibt eine praktikable Lösung, während meine anfängliche Annahme dies nicht tut , wie ich es jetzt beschreibe.

Ich habe ein paar Stunden damit verbracht, das Thevenin-Äquivalent dieser Schaltung zu finden, bevor mir klar wurde, dass dies nicht unbedingt möglich ist. Also habe ich die gesamte Schaltung mit Knotenanalyse angegriffen.

^{Simulieren Sie diese Schaltung – Mit CircuitLab erstellter Schaltplan}

Dies sind die Gleichungen, die ich mir ausgedacht habe (Polaritäten sind kritisch, achten Sie also auf die Vorzeichen):

KVL angewendet auf die 4 Schleifen:

KCL wurde auf Knoten B angewendet (in Erinnerung daran$V_O = I_4R$):

Es gibt fünf Unbekannte,$V_X$,$I_O$,$I_1$,$I_3$Und$I_4$, und fünf simultane Gleichungen. Auflösen für$I_4$, diese reduzieren sich auf die folgende Beziehung zwischen dem Widerstand R und dem Strom durch ihn,$I_4$:

Ohne Differenzierung oder Verwendung des Maximum Power Transfer Theorems ist es ziemlich klar, dass sich der Nenner Null nähert, wenn R sich 800 mΩ nähert. Dort hat der Strom ein unmögliches Maximum von ∞A und die Leistung ist maximal.

Bist du sicher, dass du den Schaltplan richtig kopiert hast? Vielleicht habe ich nicht.

Hier ist ein funktionierendes CircuitLab-Modell, an dem Sie diese Diskontinuität überprüfen können:

^{Simulieren Sie diese Schaltung}

Update Nr. 1

Bisher bin ich davon ausgegangen, dass die Stromquelle wann Strom nach links produziert$V_O$positiv ist, was nicht der Fall sein kann. Hier führe ich eine vollständige Knotenanalyse für den Fall durch, in dem wir diese Stromrichtung umkehren, aber dies ist nur ein Weg, um die maximale Leistung in R zu finden. Ein besserer Weg könnte sein, das Thevenin-Ersatzschaltbild zwischen A und B zu finden, das ich werde ich danach tun. Die Gleichungen werden:

KVL um die vier Schleifen:

KCL (wieder im Hinterkopf behalten$V_O = I_4R$):

Diesmal löst man nach$I_4$zeigt diese Beziehung, die nicht die gleiche Diskontinuität aufweist:

Das bedeutet, soweit ich das beurteilen kann, dass es ein Thevenin-Äquivalent gibt, das ich gleich ableiten werde. Im Moment möchte ich algebraisch den Wert von R finden, der die meiste Leistung verbraucht, was das Potenzgesetz erfordert:

Ich werde mit Wolfram Alpha schummeln , um die Ableitung zu finden, und sie gleich Null setzen (um Maxima und Minima zu finden):

Wolfram Alpha bietet auch die Lösung, nämlich:

Um das Thevenin-Ersatzschaltbild zu finden, müssen wir die Leerlaufspannung kennen, die so aussieht, und wo wir sie finden müssen$V_O\ = V_A-V_B$:

^{Simulieren Sie diese Schaltung}

Die KVL- und KCL-Gleichungen dafür sind die gleichen, mit ein paar Änderungen:

1. Ich werde ersetzen$I_4R$mit$V_O$, die Spannung zwischen A und B, die wir finden möchten, und
2. $I_4 = 0$, da es keinen Widerstand gibt, aus dem Strom gezogen werden kann$V_O$.

Um die Lösung zu erleichtern, indem Sie Matrizenmanipulationen oder Inversen oder eine andere Technik verwenden, die Sie verwenden möchten, sind hier dieselben Gleichungen mit allen Unbekannten in Spalten:

Ich werde wieder schummeln und einen Online-Solver verwenden , der mir dieses Ergebnis lieferte:

Unsere Thevenin-Spannung ist$V_{TH} = V_O = -454mV$.

Wir können Thevenin-Widerstand finden$R_{TH}$durch Auffinden des Kurzschlussstroms. Da haben wir bereits die Beziehung zwischen$I_4$und R, das ist trivial. Einfach R auf Null setzen:

Von dort aus finden$R_{TH}$Es geht darum, welchen Widerstand zu finden$V_{TH}$würde -1.25A erzeugen:

Dieser Ansatz setzt jedoch voraus, dass Sie die entsprechende Formel abgeleitet haben$I_4$und R, und ehrlich gesagt war das mühsam. Vielleicht wäre es also einfacher, diese simultanen Gleichungen noch einmal zu modifizieren, um stattdessen den Kurzschlussstrom über eine Matrixlösung zu finden.

Zuerst legen wir fest$V_O = I_4R = 0V$in allen ursprünglichen Gleichungen:

Als Pseudomatrix:

Die Lösungen sind:

Das ist das gleiche Ergebnis für$I_4$Kurzschlussstrom, wie wir vorher vorhergesagt haben, und wird natürlich dasselbe ergeben$R_{TH}$. Nach dem Maximum Power Transfer Theorem sollte eindeutig der Lastwiderstand R sein$R = R_{TH} = 363.6m\Omega$damit es die maximale Leistung abführt, was mit dem algebraischen Ergebnis übereinstimmt, das wir zuvor gefunden haben.

Hier ist ein funktionierendes CircuitLab-Modell, um sich selbst davon zu überzeugen, dass alles gut ist. Beachten Sie, dass ich die + und - Verbindungen an der Stromquelle umgekehrt habe, um die Stromrichtung zu korrigieren und das Diskontinuitätsproblem zu lösen, auf das ich gestoßen bin, als ich diese Frage ursprünglich beantwortet habe:

^{Simulieren Sie diese Schaltung}

Hier ist ein Diagramm der Leistung in R vs. R, um die Spitzenleistung bei 363,6 mΩ zu sehen: