Fragen zum Konzept von Struktur, Modell und formaler Sprache

Wenn wir anfangen, mathematische Logik zu definieren (insbesondere Aussagenlogik, Logik erster Ordnung und zweiter Ordnung), beginnen wir damit, das Konzept einer Sprache zu definieren. Dies geschieht zunächst rein syntaktisch. So weit, ist es gut.

Nun, in dieser Formalisierung haben wir das verwendet, was „Metalogik“ und „Metamathematik“ genannt wird (wir verwenden Mengen, Funktionen, Rekursion, den Prozess des Schließens usw.). Dann wollen wir die Bedeutung von "Wahrheit" anhängen.

(*)In der Sprache der Aussagenlogik tun wir dies mit Hilfe der Wahrheitstabellen und der Ableitungsregeln. Im Fall der Logik erster und zweiter Ordnung verwenden wir das Konzept der "Struktur" (eine tatsächliche Menge, in der die Funktionen und Relationen interagieren) und auch die Regeln der Deduktion mit Quantoren. Dann kommt der Begriff „Modell“ und mein Problem.

So wie ich es verstehe, ist ein Modell eine Struktur, in der ein System von Axiomen, ausgedrückt in einer bestimmten Sprache, erfüllt ist.

Frage : Habe ich Recht?

Aber in diesem Fall haben wir den Begriff "Struktur" im metamathematischen Sinne definiert. Wenn wir also sagen, dass wir ein Modell machen, sprechen wir auch von Metamathematik.

Lassen Sie uns nun über die Sprache der Mengenlehre sprechen. Wir haben diese Sprache so aufgebaut, dass sie mächtig genug ist, um die gesamte Mathematik auszudrücken.

Die Axiome von Z F werden dann gegeben. Aber um den Ausdrücken in der Sprache eine Bedeutung zu geben, müssen wir tatsächlich annehmen, dass es ein Modell von gibt Z F . Das bedeutet, dass wir berücksichtigen müssen, dass es eine Struktur gibt, die die Axiome von erfüllt Z F (natürlich um konsequent zu sein).

Unter der Annahme, dass die Axiome von Z F konsistent sind, dann aus der Sprache der Mengenlehre und der Axiome Z F wir können die gesamte Mathematik aufbauen.

Frage : Da praktisch alles innerhalb der Sprache der Mengenlehre konstruiert werden kann (mit Z F ) und wir verwenden es als solches, warum sagen die Leute, dass es eine Metatheorie ist?.

Frage : ob alles durch die Sprache der Mengenlehre (mit Z F ), was bedeutet, dass wir die meiste Mathematik, die wir praktisch verwenden, warum eine andere Sprache in Betracht ziehen? Wie zum Beispiel die Sprache der Gruppentheorie, die Sprache der Arithmetik usw.

Auch wenn wir eine neue Sprache und ein System von Axiomen betrachten, müssen wir über ein Modell sprechen, das die Axiome erfüllt (um konsistent zu sein). Aber ein solches Modell ist eine Struktur, und die Leute verwenden die Axiome der Mengenlehre ( Z F ) um es aufzubauen. Da fällt mir gleich die nächste Frage ein.

Frage : Wenn wir sagen, dass wir modellieren, arbeiten wir dann außerhalb in der Mettheorie oder arbeiten wir innerhalb der Sprache der Mengenlehre?

Ich freue mich sehr über jeden Kommentar zu diesem Thema und auch über jede Beobachtung, die mir hilft, diese Konzepte zu verstehen.

Hast du irgendeinen Logikkurs besucht? Mengenlehre?
@AsafKaragila Nicht offiziell. Eigentlich studiere ich dieses Fach, weil ich im Urlaub und alleine bin. Ich möchte meine Beweise formalisieren und auch Modellierungstheorien lernen.
Sie sollten Logik und Mengenlehre, zumindest die Grundlagen, ohne dies im Hinterkopf studieren und später herausfinden, wie die Mengenlehre als Grundlagenthema verwendet werden kann. Der Versuch, dies einfach zu lernen, wäre ein schwerwiegender Eingriff in das Verständnis der Mengenlehre. Studieren Sie diese Themen um ihrer selbst willen!

Antworten (1)

Sie irren sich in der Logik zweiter Ordnung. Es ist genauso ein syntaktisches Konzept wie die Logik erster Ordnung, aber die Logik selbst ist nicht so "nett" wie die Logik erster Ordnung, und die Idee einer Variablen zweiter Ordnung bezieht sich in gewissem Maße bereits auf die Idee von a Satz.

Frage 3: Sie haben halb recht. Die Deduktionsregeln sind in der Sprache, das sind syntaktische Regeln, weil Beweise syntaktisch sind. Aber ein Modell einer Theorie ist eine Interpretation der Sprache, wo die Axiome wahr sind.

Frage 2: Wir beziehen uns auf Z F als Metatheorie, weil dies der Rahmen ist, in dem wir Logik entwickeln können (Syntax und Semantik zusammen, sogar für "große" Sprachen, die unzählbar viele Symbole enthalten) und dann arbeiten wir an anderen Theorien innerhalb des Universums der Mengenlehre.

Das ist die Theorie des Universums, es ist nicht die Theorie der Infinitesimalrechnung, der Arithmetik oder der Gruppen. Es ist die zugrunde liegende Theorie. Und wenn wir über Gruppen oder Arithmetik oder was auch immer streiten, argumentieren wir in diesen relevanten Theorien . Und manchmal argumentieren wir über diese Theorien , und ein Argument über eine Theorie ist ein Argument in der Meta-Theorie (daher das Präfix meta).

Zum Beispiel die Aussage: „Die Gruppentheorie beweist die Aussage nicht ∀ X ∀ j ( X ∗ j = j ∗ X ) " ist eine Aussage über die Theorie der Gruppen, und daher ist es eine Aussage in der Meta-Theorie. Ob die Meta-Theorie eine ist oder nicht Z F , oder etwas anderes, spielt im Moment keine Rolle. Aber es ist eine Aussage über die Theorie der Gruppen.

Frage 3: Weil die Sprache der Mengenlehre die Metasprache ist. Wenn wir über die Theorie der Felder sprechen wollen, brauchen wir zwei Operationen und zwei konstante Symbole. Das ist die Sprache der Felder. Die Sprache der Mengenlehre ist die Sprache des zugrunde liegenden Universums.

Diese Frage ist dieselbe wie die Frage "Wenn die CPU mit Opcodes arbeitet, warum brauchen wir dann C++, Java, Common Lisp oder Haskell?"

Ja, wir können durchaus Dinge mit ausdrücken ∈ . Aber das würde jede mögliche Bedeutung von allem, was wir schreiben möchten, völlig verschleiern, und Sie müssten für so ziemlich alles unglaublich lange Ausdrücke schreiben.

Frage 4: Wenn wir dem zustimmen Z F ist die Metatheorie, dann sind die Argumente im Wesentlichen in der Sprache der Mengenlehre. Natürlich schreiben wir die in formalen Ausdrücken nicht mit ∈ , aber wir können. Es ist einfach unerträglich lang, und wenn Sie keinen Beweisassistenten verwenden, ist es auch nutzlos.

Deshalb haben wir Englisch.

Abgesehen von dieser Antwort denke ich, dass Sie wirklich ein paar Tage lang eine Pause einlegen sollten, um diese Fragen hier zu stellen, und alle Antworten, die Sie haben, auf sich wirken lassen sollten. Dies ist ein sehr kniffliges Konzept, und bis Sie tatsächlich an grundlegenden Fragen arbeiten für eine Weile - es ist wahrscheinlich, dass Sie nur die Feinheiten verpassen und es nicht vollständig verstehen. Egal wie oft Sie fragen, im Wesentlichen die gleiche Frage in neuen Formulierungen.
Fragen zum Konzept von Struktur, Modell und formaler Sprache
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v