Freie vs. gebundene Variablen in der Logik erster Ordnung

Ein Grund, warum wir Anweisungen mit freien Variablen zulassen, ist, dass dieselbe Anweisung für viele verschiedene Zwecke verwendet werden kann. Nehmen Sie zum Beispiel die Aussage$x+y=0$.

Wir könnten die beiden freien Variablen mit zwei Existenzquantoren verknüpfen und fragen, ob die resultierende Aussage wahr ist. Oder wir könnten es mit zwei universellen Quantoren oder mit einem universellen und einem existenziellen Quantor verbinden.

Oder wir könnten beide Variablen binden, indem wir die Gleichung in die Set-Builder-Notation einfügen und ihren Lösungssatz über verschiedene Dinge definieren, wie zum Beispiel:

• die reellen Zahlen$\{(x,y) \in \mathbb R^2 \mid x+y=0\}$
• die komplexen Zahlen$\{(x,y) \in \mathbb C^2 \mid x+y=0\}$
• Die$5$-adische Zahlen$\{(x,y) \in \mathbb Q_5^2 \mid x+y=0\}$
• die zyklische Ordnungsgruppe$7$ $\{(x,y) \in C_7 \mid x+y=0\}$.

Im Wesentlichen die Gleichung$x+y=0$wird selbst zu einem interessanten Gegenstand mathematischer Studien. Wir können Fragen wie „Wie sieht die Lösungsmenge aus$x+y=0$variieren, wenn wir das Feld (oder die abelsche Gruppe oder was auch immer) variieren?" Wir wären nicht in der Lage, solche Fragen zu formulieren und zu studieren, wenn wir gezwungen wären, die Variablen jedes Mal zu binden, wenn wir über die Gleichung sprechen$x+y=0$.

Sie sind sich nicht sicher, was das Binden einer Variablen bedeutet. In der Logik erster Ordnung ist eine Variable nicht "an irgendein Diskursuniversum gebunden". In einem semantischen Ansatz zur (einfach sortierten) Logik erster Ordnung beziehen sich alle Begriffe, einschließlich Variablen (ob frei oder gebunden), auf Elemente in einem bestimmten Bereich. Es sei denn$\text{donut}$Teil Ihrer semantischen Domäne ist (auch bekannt als Universum [des Diskurses]), macht es keinen Sinn, dass es die Interpretation einer Variablen ist.

Ich vermute, Ihre Verwirrung kommt von der mengentheoretischen Notation,$\forall n\in\mathbb N.P(n)$. Dies wird in der Regel informell als einschränkend interpretiert$n$zu Elementen von$\mathbb N$, aber darum geht es nicht. Ich nehme an, das ist das, was Sie sich vorstellen, wenn Sie daran denken$n$„gebunden“ sein an das „Universum des Diskurses“$\mathbb N$. Was tatsächlich passiert ist$\forall n\in\mathbb N.P(n)$ist eine Abkürzung für$\forall n.n\in\mathbb N\to P(n)$. Mit anderen Worten,$n$erstreckt sich über den gesamten Bereich (dh das eigentliche Diskursuniversum), das alle Mengen sind , wie dies im Kontext einer Mengentheorie der Fall ist. Es ist lediglich so, dass$n\in\mathbb N$wird falsch sein, wenn$n$ist keine natürliche Zahl. Und noch einmal, gemäß dem ersten Absatz,$\text{donut}$wird keine Möglichkeit für sein$n$es sei denn$\text{donut}$bezieht sich auf einen bestimmten Satz.

Es könnte sich lohnen, näher darauf einzugehen, was die Semantik von Formeln mit freien Variablen ist. Eine Semantik für eine einfach sortierte Logik erster Ordnung besteht aus einer Menge,$D$, genannt die Domäne und eine Interpretation für Formeln. Meiner festen Meinung nach besteht die beste Möglichkeit, dies zu organisieren, darin, Formeln nach der (normalerweise endlichen) Menge freier Variablen zu indizieren, die in ihnen vorkommen können . Schreiben$\mathsf{Form}(V)$für den Formelsatz mit freien Variablen in$V$. Eine Interpretation ist dann eine Familie von Funktionen (die einige Gesetze erfüllen), die durch Mengen freier Variablen indiziert sind.$\mathsf{interpret}_V:\mathsf{Form}(V)\to \mathcal P(D^V)$Wo$D^V$ist die Menge der Funktionen aus$V$Zu$D$Und$\mathcal P$ist die Powerset-Operation. Das ist,$\mathsf{interpret}_V$angewendet auf eine Formel erzeugt eine Teilmenge von$D^V$entsprechend diesen Funktionen$V\to D$die die Formel erfüllen. Da wir Variablen umbenennen können, interessiert uns eigentlich nur deren Größe$V$Ist. Das heißt, wir könnten so etwas schreiben wie$\mathsf{interpret}_n : \mathsf{Form}(n) \to \mathcal P(D^n)$, und nun$\mathsf{interpret}_n$Angewendet auf eine Formel ergibt ein$n$-äre Beziehung ¹ . Mit dieser Perspektive ist die$i$te freie Variable entspricht der$i$te Projektion$\pi_i : D^n\to D$. Zum Beispiel die Semantik der Formel$x = y$wäre$\{p\in D\times D\mid \pi_1(p) = \pi_2(p)\}$. Ich habe von "freien Variablen" gesprochen, aber es gibt keine getrennten freien und gebundenen Variablen, was die Semantik betrifft. Ein Quantor wird als Operation interpretiert$\mathcal P(D^{n+1})\to\mathcal P(D^n)$. Eine Variable wird also durch eine Projektion dargestellt, aber immer noch eine Projektion in die gegebene Domänenmenge$D$.

Sie können dies alternativ auch syntaktisch angehen. Ich werde darauf nicht näher eingehen, aber letztendlich ist es noch strenger. Auf der Ebene der Syntax macht es keinen Sinn, über den "Wert" einer freien Variablen zu sprechen. Außerdem können Sie sich nur auf Dinge beziehen, die Ihre formale Sprache beinhaltet. Es ist sehr unwahrscheinlich, dass Ihre Syntax für Begriffe ein Bild einer Blume als wohlgeformten Begriff enthält. Selbst wenn, hätte es keine Bedeutung. Es wäre nur eine aufwändige Art, eine Konstante zu benennen. Der Begriff der freien und gebundenen Variablen lebt auf der Ebene der Syntax (weshalb er für die Semantik im vorherigen Absatz unwichtig war), aber das "Universum des Diskurses" ist ein semantisches Konzept.

¹ Ich empfehle das eigentlich nicht und halte mich lieber an die$D^V$Ansicht, da die Namen freier Variablen eine gewisse Bedeutung haben, insbesondere wenn wir mehrere Formeln kombinieren. Ich gehe nur davon aus, dass mir die Dinge bekannter vorkommen, wenn ich über Beziehungen spreche und die Namen für unsere Zwecke hier keine Rolle spielen.