Fremdlösungen vermeiden

Beim Lösen quadratischer Gleichungen wie z X + 1 + X − 1 = 2 X + 1 uns wird gesagt, wir sollen naiv lösen, zum Beispiel würden wir bekommen X ∈ { − 5 2 , 5 2 } , obwohl die erste Lösung nicht funktioniert, und probieren Sie dann alle Lösungen aus und entfernen Sie die irrelevanten. Dies ist kein sehr eleganter Algorithmus! Wie würde man die Tatsache nutzen, dass X 2 = | X | um Antworten nicht überprüfen zu müssen?

Halten Sie Methoden, die Betragsgleichungen lösen, wirklich für eleganter als das Testen auf Fremdlösungen?
Ich dachte, es gäbe vielleicht einen eleganten Weg, dies zu tun, ohne Lösungen zu prüfen.
Hier bei MathSE gibt es viele Fragen zum Lösen von Absolutwertgleichungen. Diese können ziemlich schwierig zu lösen sein und umfassen normalerweise die Prüfung mehrerer Möglichkeiten. Ich persönlich halte die Überprüfung auf irrelevante Lösungen für einfacher zu verstehen und durchzuführen.
Warum ist die Überprüfung nicht elegant? Tatsächlich haben Sie einfach das Vertrauen, dass die von Ihnen angewandte Methode richtig ist. Es gibt keinen Grund, die Antworten nicht auf Fehler zu überprüfen. es sollte Teil der Problemlösung sein.

Antworten (2)

Wenn Sie dafür sorgen

{ X + 1 ≥ 0 X − 1 ≥ 0 2 X + 1 ≥ 0
dann kannst du beide seiten quadrieren, weil sie garantiert existieren und wann A , B ≥ 0 , A = B dann und nur dann, wenn A 2 = B 2 .

Die oben genannten Bedingungen sind äquivalent zu X ≥ 1 .

Quadrieren wir

X + 1 + 2 X 2 − 1 + X − 1 = 2 X + 1
das vereinfacht zu
2 X 2 − 1 = 1
und Sie können wieder quadrieren, weil beide Seiten nicht negativ sind. Das gibt
4 X 2 = 5.
Da Sie das wissen X ≥ 1 , die einzige Lösung ist
X = 5 2 .

Also würde ich im Allgemeinen nur die Domäne der ursprünglichen Gleichung berechnen und diese auf meinen Lösungssatz anwenden?
@RenéG Du musst auch in den Zwischenpassagen vor dem Quadrieren aufpassen, da eine Seite negativ sein könnte.
@RenéG Dein Korrekturvorschlag ist falsch: X 2 − 1 ist definiert (weil X ≥ 1 ) und per Definition nichtnegativ.
Was meinten Sie dann mit "Sie können wieder quadrieren, weil beide Seiten nicht negativ sind"?
@RenéG Dasselbe wie vorher: wann A , B ≥ 0 , die Gleichheit A = B ist das gleiche wie A 2 = B 2 (mit anderen Worten, Sie fügen keine Fremdlösungen hinzu).
Das gilt auch für A , B ≤ 0 . Und da A = B sie müssen beide negativ, beide positiv oder beide Null sein. Warum also diese Notiz machen?
@RenéG Du hast es gesagt: Du musst sicherstellen, dass beide Seiten das gleiche Zeichen haben, bevor du quadrierst. Natürlich müssen sie auch definiert werden, aber bei der zweiten Quadratur war das schon selbstverständlich, denn X 2 − 1 ist das Produkt zweier Terme, von denen wir bereits wissen, dass sie existieren.

Versuchen Sie, beide Seiten quadratisch zu machen.

X + 1 + X − 1 = 2 X + 1 ⇔
⇔ ( X + 1 + X − 1 ) 2 = ( 2 X + 1 ) 2 ⇔
⇔ ( X + 1 ) 2 + 2 X + 1 X − 1 + ( X − 1 ) 2 = 2 X + 1
⇔ ( X + 1 ) + 2 ( X + 1 ) ( X − 1 ) + ( X − 1 ) = 2 X + 1 ⇔
⇔ ( X + 1 ) ( X − 1 ) = 1 2 ⇔
⇔ ( X + 1 ) ( X − 1 ) = 1 4 ⇔
⇔ X 2 − 1 − 1 4 = 0 ⇔
⇔ X 2 − 5 4 = 0

Und jetzt können Sie einfach die quadratische Formel verwenden.

X = − ( 0 ) ± ( 0 ) 2 − 4 ( 1 ) ( − 5 4 ) 2 ( 1 ) ⇔
⇔ X = ± 4 × 5 4 2 ⇔
⇔ X = ± 5 2

Auch, − 5 2 nicht in der endgültigen Lösung enthalten ist, versuchen Sie herauszufinden, warum ...

Ich hoffe, ich habe geholfen. Saclyr.

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