Funktionskompositionsbeweis - Beweis, dass die Funktion injektiv ist

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Funktionskompositionsbeweis - Beweis, dass die Funktion injektiv ist

Funktionen
Mathematik
Diskrete Mathematik

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Lassen $f:A\to B$ eine Funktion sein.

Lassen $h:B\to B$ , $g:A\to A$ eine injektive und surjektive Funktionen sein.

Beweisen: $f$ ist injektiv iff $h\circ f \circ g$ ist injektiv.

Was ich getan habe, ist Folgendes:

Fall 1: Nehmen wir das an $h\circ f \circ g$ ist injektiv und beweise das $f$ ist injektiv.

Seit $g,h$ injektiv und surjektiv sind, gibt es für jeden von ihnen eine Umkehrung, so dass:

H^{- 1} H \circ F \circ G G^{- 1} = F

$h^{-1}h\circ f \circ gg^{-1}= f$

So $f$ ist auch injektiv.

Fall 2:

Nehmen wir das mal an $f$ ist injektiv und beweise das $h\circ f \circ g$ ist injektiv.

Seit $f$ ist dann injektiv: $f \circ g$ ist auch injektiv (*)

Lass uns definieren $Z = f \circ g$ $\leftarrow$ injektiv

Also haben wir: $h \circ Z$ wo beide Funktionen injektiv sind, muss auch ihre Zusammensetzung sein. (**)

Deshalb $h \circ f \circ g$ ist injektiv.

Ich bin mir nicht ganz sicher über die Schritte, die ich in * und ** gemacht habe,

Beide verlassen sich darauf, dass die Zusammensetzung zweier injektiver Funktionen injektiv ist, aber ist das wahr? Wenn ja, kann mir jemand zeigen warum?

Danke

Flohblut

Wenn Sie davon ausgehen können, dass die Zusammensetzung von zwei Injektionsfunktionen injektiv ist, dann ist die Zusammensetzung von drei Injektionsfunktionen auch durch Induktion. Keine Notwendigkeit, Z einzuführen. Aber ich denke, Sie müssen beweisen, dass die Zusammensetzung zweier injektiver Funktionen injektiv ist (es sei denn, Ihr Text hat es bereits für Sie getan). Es ist sehr einfach und ich bin sicher, Sie können es tun.

Antworten (2)

Funktionskompositionsbeweis - Beweis, dass die Funktion injektiv ist

Wenn Sie davon ausgehen können, dass die Zusammensetzung von zwei Injektionsfunktionen injektiv ist, dann ist die Zusammensetzung von drei Injektionsfunktionen auch durch Induktion. Keine Notwendigkeit, Z einzuführen. Aber ich denke, Sie müssen beweisen, dass die Zusammensetzung zweier injektiver Funktionen injektiv ist (es sei denn, Ihr Text hat es bereits für Sie getan). Es ist sehr einfach und ich bin sicher, Sie können es tun.

Anurag A · Answer 1

Lassen $f$ Und $g$ seien zwei injektive Funktionen. Bedenke die $p=f \circ g$ . Dann

\begin{aligned} P (A) & = P (B) \\ F (G (A)) & = F (G (B)) \\ G (A) & = G (B) & (∵ F ist injektiv) \\ A & = B & (∵ G ist injektiv) \end{aligned}

$\begin{align*} p(a) & = p(b)\\ f(g(a)) & = f(g(b))\\ g(a) & = g(b) && (\because f \text{ is injective})\\ a & = b && (\because g \text{ is injective}) \end{align*}$ Daher

p

$p$ ist injektiv.

Flohblut · Answer 2

1) wenn $f$ ist dann injektiv $h \circ f \circ g$ ist injektiv.

Wenn $h \circ f \circ g (a) =h \circ f \circ g (b)$ Dann

$f \circ g (a) = f \circ g(b)$ da h injektiv ist.

$g(a) = g(b)$ da f injektiv ist.

$a = b$ da g injektiv ist.

Daher $h \circ f \circ g$ ist injektiv.

2) wenn $h \circ f \circ g$ injektiv als $f$ ist injektiv. (Du hast es gut gemacht, aber...)

Vermuten $a \ne b$ .

Dann $c = g^{-1}(a) \ne g^{-1}(b) = d$

Dann $h(f(g(c)) \ne h(f(g(d))$

Der $f(g(c)) = f(a) \ne f(b) = f(g(c))$ ;

So $f(a) = f(b)$ nur wenn $a = b$ .

Also ist f injektiv.

Funktionskompositionsbeweis - Beweis, dass die Funktion injektiv ist

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Flohblut

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Anurag A

Flohblut

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