Gekoppeltes Federsystem (3 Massen 3 Federn)

Hallo, ich habe Probleme, das richtige Modell für dieses gekoppelte Federsystem zu finden. Wir haben folgendes Szenario: Decke – Feder – Masse (1) – Feder (2) – Masse (2) – Feder (3) – Masse (3) Ende.

Zur Modellierung dieses Problems habe ich mir folgendes System von Differentialgleichungen 2. Ordnung ausgedacht.

X 1 ″ = [ − k 1 X 1 − k 2 ( X 2 − X 1 ) − k 3 ( X 3 − X 2 ) ] / M 1

X 2 ″ = [ − k 2 ( X 2 − X 1 ) − k 3 ( X 3 − X 2 ) ] / M 2

X 3 ″ = − k 3 ( X 3 − X 2 ) / M 3

Ist das das richtige Modell? Danach versuche ich, diese Gleichungen in 6 Differentialgleichungen zu linearisieren, die ich in Matlab eingeben und die Position jeder Feder aufzeichnen kann.

Also habe ich sie linearisiert und folgendes erhalten:

j 1 ' = j 2

j 2 ' = ( − k 1 j 1 − k 2 ( j 3 − j 1 ) − k 3 ( j 5 − j 3 ) / M 1

j 3 ' = j 4

j 4 ' = ( − k 2 ( j 3 − j 1 ) − k 3 ( j 5 − j 3 ) / M 2

j 5 ' = j 6

j 6 ' = ( − k 3 ( j 5 − j 3 ) ) / M 3

Ich bin mir nicht sicher, ob das richtig ist oder nicht. Wenn ich sie in Matlab zeichne, bekomme ich keine Sinuswelle. Ein großes Plus, wenn ihr mir sagen könnt, wie ich dieses System in Matlab animieren könnte, damit ich die Positionsänderung in allen drei Federn sehen kann.

Sie erwarten keine einfachen Sinuskurven, außer in einigen Sonderfällen.
Was meinst du? Also stimmt das Modell?
Ich habe keine Ahnung, ob das Modell korrekt ist oder nicht, aber das Finden einfacher Sinuskurven weist an und für sich nicht auf einen Fehler hin. Es gibt ein paar reguläre Modi, aber sie zu finden, ist ein Eigenwertproblem, und ich bin mir nicht sicher, ob Sie diesen Begriff kennen und was er impliziert.
Ich weiß, was Eigenwerte sind, aber normalerweise sind die Eigenwerte von Federmassensystemen komplex.
IIRC, dieses Beispiel wird in Taylors klassischer Mechanik gelöst.
Kannst du einen Link posten?

Antworten (1)

Aus dem Freikörperbild müssen Sie haben

M 1 X ¨ 1 = F 1 − F 2 M 2 X ¨ 2 = F 2 − F 3 M 2 X ¨ 3 = F 3

mit den Federkräften definiert als

F 1 = − k 1 X 1 F 2 = − k 2 ( X 2 − X 1 ) F 3 = − k 3 ( X 3 − X 1 )

Das obige wird kombiniert als

[ M 1 0 0 0 M 2 0 0 0 M 3 ] ( X ¨ 1 X ¨ 2 X ¨ 3 ) = − [ k 1 + k 2 − k 2 0 − k 2 k 2 + k 3 − k 3 0 − k 3 k 3 ] ( X 1 X 2 X 3 )

Was meiner Meinung nach zu Ihren Gleichungen passt (Sie müssen es überprüfen).

Um ODEdaraus einen zu machen, braucht man einen Zustandsvektor

j = ( X 1 X 2 X 3 v 1 v 2 v 3 )

und sein Derivat

j ˙ = A j
( X ˙ 1 X ˙ 2 X ˙ 3 v ˙ 1 v ˙ 2 v ˙ 3 ) = [ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 − k 1 + k 2 M 1 k 2 M 1 0 0 0 0 k 2 M 2 − k 2 + k 3 M 2 k 3 M 2 0 0 0 0 k 3 M 3 − k 3 M 3 0 0 0 ] ( X 1 X 2 X 3 v 1 v 2 v 3 )

So lange wie X ¨ ich ∝ − X ich es würde eine harmonische Reaktion geben. Wenn Sie dies nicht sehen, stimmt etwas mit Ihrer Verwendung nicht ode45().

Gekoppeltes Federsystem (3 Massen 3 Federn)
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