Gemischte Symmetrisierung und Antisymmetrisierung / Kombinatorik

Was Sie tun, läuft darauf hinaus, ein Tensorprodukt zu berechnen und es in irreduzible Komponenten zu zerlegen. Dazu gibt es eine Standardmethode mit der Littlewood-Richardson-Regel, Young-Symmetrisatoren usw. und es gibt schöne Bilder, Young-Diagramme ( http://en.wikipedia.org/wiki/Young_tableau ), die helfen, verschiedene Arten von Symmetrien zu visualisieren . In vielen Fällen reicht es aus, Young-Diagramme zu verwenden, sodass Indizes nicht direkt geschrieben werden müssen. Zum Beispiel,$\delta$ist ein symmetrischer Rang zwei, er wird durch ein Diagramm dargestellt, das aus zwei Kästchen in einer Reihe besteht, wir können sagen, dass er es ist$(2,0,0,...)$mit der Bedeutung, dass alle anderen Zeilen die Länge Null haben. Dein$f$ist eine Antisymmetrie vom dritten Rang, sie wird durch ein Diagramm mit drei Kästchen in einer Spalte dargestellt,$(1,1,1,0,...)$. Dann$\delta \otimes f$enthält zwei irreduzible Komponenten,$(3,1,1,0,...)$und$(2,1,1,1)$. Jedes Kästchen entspricht einem Index, und es ist bekannt, dass unterschiedliche Anordnungen der gleichen Anzahl von Kästchen unterschiedlichen Arten von Tensoren entsprechen, die man mit der gleichen Anzahl von Indizes haben kann. Sie können in Hamermesh oder Fulton & Harris suchen.

Es gibt mehrere Notationen, die für Sie von Nutzen sein können und tatsächlich von Menschen verwendet werden. Zunächst ist es zweckmäßig, alle Indizes, die zu der Gruppe der Indizes gehören, in denen ein Tensor symmetrisch oder antisymmetrisch ist, mit demselben Buchstaben zu bezeichnen. Zum Beispiel$f^{uuu}$oder$f^{u[3]}$statt deiner$f^{abc}$und$\delta^{aa}$oder$\delta^{a(2)}$für dein$\delta^{ab}$und ich habe runde (eckige) Klammern verwendet, um die Anzahl der Indizes anzugeben und ob sie symmetrisch oder antisymmetrisch sind. Aber das funktioniert für ziemlich einfache Arten von Symmetrien, wie die, die Sie brauchen.

Im Falle des$T^{a(n)|u[m]}$das du gegeben hast ($n$symmetrische Indizes und$m$antisymmetrisch) gibt es immer noch nur zwei irreduzible Komponenten, durch die man gegeben ist$T^{a(s-1)u|u[m]}$und ich gehe von Antisymmetrisierung aus$u$Indizes. Da es im letzten schon antisymmetrisch ist$u[m]$Dies erfordert$m+1$Bedingungen. Die zweite irreduzible Komponente ist gegeben durch$t^{a(n)|au[m-1]}$und es erfordert$n+1$symmetrische Permutationen. Dies ist nur eine Kurzschreibweise für die gleiche Zeit.

Der von Ihnen definierte Symmetrisierungsoperator ist seltsam und ich kann nicht erkennen, dass Sie in der ersten Formel, zum Beispiel dem 8. Term, Ihr eigenes Rezept befolgt haben$\delta^{cd}f^{abe}$muss begleitet werden$-\delta^{dc}f^{abe}$, dies ist eine weitere Permutation, die zu gehört$5!$und gemäß Ihrem Verfahren ist ein Zeichen erforderlich. Aber die beiden heben sich einfach auf. Eigentlich gilt dies immer dann, wenn man versucht, antisymmetrische Indizes auf einen symmetrischen Tensor zu verschieben und umgekehrt. Hoffe, das ist hilfreich.

„Diese Summe habe ich aus der Berechnung der Spur von$5 SU(N)$Generatoren in der adjungierten Darstellung$\text{tr}\,T^aT^bT^cT^dT^e$"

Es gibt keinen Grund, warum es eine einfache Blocksymmetrie oder Blockantisymmetrie geben könnte. Betrachten Sie beispielsweise Trace und die adjungierte Darstellung von$SU(N)$, Sie haben die Spur von$4$ $SU(N)$Generatoren in der adjungierten Darstellung.

Dies$4$-generator Ablaufverfolgungsausdruck ist symmetrisch in$a$und$c$, und ist symmetrisch in$b$und$d$, und natürlich haben wir die zyklischen Symmetrien. Aber das ist alles. Der Ausdruck ist beispielsweise nicht symmetrisch in$a$und$b$, und ist nicht symmetrisch in$c$und$d$.