Generierungsfunktion für kanonische Transformation

Question

Generierungsfunktion für kanonische Transformation

Merk Zockerborg

Kurzfassung:

Ich habe einige Notizen zu integrierbaren Systemen / Hamilton-Dynamik gelesen und stecke bei einem Problem fest: Zeigen Sie, dass die über die Erzeugungsfunktionsmethode abgeleitete Koordinatentransformation eine kanonische Transformation ergibt.

Lange Version:

Ein Koordinatenwechsel $(\vec{q},\vec{p})\to (\vec{Q},\vec{P})$ heißt kanonisch, wenn sie die Hamilton-Gleichungen invariant lässt, dh die Gleichungen in den ursprünglichen Koordinaten
$\dot{\vec{Q}} = \frac{\partial H}{\partial \vec{P}}, \dot{\vec{P}} = - \frac{\partial H}{\partial \vec{Q}}$ $\dot{\vec{q}}=\frac{\partial H}{\partial\vec{p}},\quad \dot{\vec{p}}=-\frac{\partial H}{\partial\vec{q}}$ gleichwertig sind $\dot{\vec{Q}} = \frac{\partial \tilde{H}}{\partial \vec{P}}, \dot{\vec{P}} = - \frac{\partial \tilde{H}}{\partial \vec{Q}}$ $\dot{\vec{Q}}=\frac{\partial\tilde{H}}{\partial\vec{P}}, \quad \dot{\vec{P}}=-\frac{\partial\tilde{H}}{\partial\vec{Q}}$ Wo $\tilde{H}(\vec{Q},\vec{P})=H(\vec{q},\vec{p})$ .

Die Erzeugungsfunktionsmethode:

Angenommen, wir haben eine Funktion $S:\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R}.$ Schreiben Sie seine Argumente auf $S(\vec{q},\vec{P})$ . Jetzt einstellen
$\vec{P} = \frac{\partial S}{\partial \vec{Q}}, \vec{Q} = \frac{\partial S}{\partial \vec{P}} .$ $\vec{p}=\frac{\partial S}{\partial \vec{q}}, \quad \vec{Q}=\frac{\partial S}{\partial \vec{P}}.$ Die erste Gleichung lässt uns auflösen nach $\vec{P}$ bezüglich $\vec{q},\vec{p}$ . Die zweite Gleichung lässt uns auflösen nach $\vec{Q}$ bezüglich $\vec{q},\vec{P}$ , und damit in Bezug auf $\vec{q},\vec{p}$ . Die neuen Koordinaten $\vec{Q}$ , $\vec{P}$ Wir finden, dass dieser Weg eine kanonische Transformation ergibt. Dies zu überprüfen ist nur eine sorgfältige Anwendung der Kettenregel.

Mein Problem:

Also beschloss ich, diese „sorgfältige Anwendung der Kettenregel“ zu versuchen und auszuarbeiten, dh zu beweisen, dass die durch diese Erzeugungsfunktionsmethode erhaltene Transformation kanonisch ist. Ich war nicht in der Lage, dies zu tun, und Hilfe bei diesem Problem wäre sehr dankbar.

****mein Fortschritt****

zB versuchen zu beweisen $\dot{\vec{P}}=-\frac{\partial\tilde{H}}{\partial\vec{Q}}$ . In Gedanken an $H$ als $H(\vec{q}(\vec{Q},\vec{P}),\vec{p}(\vec{Q},\vec{P}))$ , und mit der Kettenregel,

\frac{\partial \tilde{H}}{\partial Q_{ich}} = \frac{\partial H}{\partial Q_{J}} \frac{\partial Q_{J}}{\partial Q_{ich}} + \frac{\partial H}{\partial P_{J}} \frac{\partial P_{J}}{\partial Q_{ich}} = - {\dot{P}}_{J} \frac{\partial Q_{J}}{\partial Q_{ich}} + {\dot{Q}}_{J} \frac{\partial P_{J}}{\partial Q_{ich}}

$\frac{\partial\tilde{H}}{\partial Q_i}=\frac{\partial H}{\partial q_j}\frac{\partial q_j}{\partial Q_i}+\frac{\partial H}{\partial p_j}\frac{\partial p_j}{\partial Q_i}=-\dot{p}_j\frac{\partial q_j}{\partial Q_i}+\dot{q}_j\frac{\partial p_j}{\partial Q_i}$ unter Verwendung der ursprünglichen Hamilton-Gleichungen.

In der Zwischenzeit,

- {\dot{P}}_{ich} = - \frac{\partial P_{ich}}{\partial Q_{J}} {\dot{Q}}_{J} - \frac{\partial P_{ich}}{\partial P_{J}} {\dot{P}}_{J},

$-\dot{P}_i=-\frac{\partial P_i}{\partial q_j}\dot{q}_j-\frac{\partial P_i}{\partial p_j}\dot{p}_j,$ also reicht es zu zeigen

\frac{\partial P_{ich}}{\partial P_{J}} = \frac{\partial Q_{J}}{\partial Q_{ich}}, \frac{\partial P_{ich}}{\partial Q_{J}} = - \frac{\partial P_{J}}{\partial Q_{ich}} .

$\frac{\partial P_i}{\partial p_j}=\frac{\partial q_j}{\partial Q_i},\quad \frac{\partial P_i}{\partial q_j}=-\frac{\partial p_j}{\partial Q_i}.$ Ich konnte zeigen

\frac{\partial P_{J}}{\partial P_{ich}} = \frac{\partial Q_{ich}}{\partial Q_{J}}

$\frac{\partial p_j}{\partial P_i}=\frac{\partial Q_i}{\partial q_j}$ unter Verwendung der Kettenregel und der Symmetrie partieller Ableitungen. Dies gibt uns dann die erste gewünschte Gleichheit, indem wir die Jacobi-Matrix invertieren:

{[\frac{\partial P_{J}}{\partial P_{ich}}]}^{- 1} = {[\frac{\partial Q_{ich}}{\partial Q_{J}}]}^{- 1} ⟹ [\frac{\partial P_{ich}}{\partial P_{J}}] = [\frac{\partial Q_{J}}{\partial Q_{ich}}]

$\left[\frac{\partial p_j}{\partial P_i}\right]^{-1} =\left[\frac{\partial Q_i}{\partial q_j}\right]^{-1} \implies \left[\frac{\partial P_i}{\partial p_j}\right] =\left[\frac{\partial q_j}{\partial Q_i}\right]$

Allerdings bin ich mir nicht sicher, wie ich das zeigen soll

\frac{\partial P_{ich}}{\partial Q_{J}} = - \frac{\partial P_{J}}{\partial Q_{ich}} .

$\frac{\partial P_i}{\partial q_j}=-\frac{\partial p_j}{\partial Q_i}.$

Antworten (2)

Generierungsfunktion für kanonische Transformation

QMechaniker · Answer 1

Daran erinnern, dass eine Koordinatentransformation
$\begin{matrix} (1) & (Q^{ich}, P_{ich}) \mapsto (Q^{ich} (Q, P, T), P_{ich} (Q, P, T)) \end{matrix}$ $(q^i,p_i)~~\mapsto~~ \left(Q^i(q,p,t),P_i(q,p,t)\right)\tag{1}$ mit erzeugender Funktion $F$ ist von der Form $^1$ $\begin{matrix} (2) & λ \underset{=: L_{H}}{\underset{⏟}{(\sum_{ich = 1}^{N} P_{ich} D Q^{ich} - H D T)}} = \underset{=: L_{K}}{\underset{⏟}{(\sum_{ich = 1}^{N} P_{ich} D Q^{ich} - K D T)}} + D F, \end{matrix}$ $\lambda\underbrace{(\sum_{i=1}^np_i\mathrm{d}q^i-H\mathrm{d}t)}_{~=:~\mathbb{L}_H} ~=~\underbrace{(\sum_{i=1}^nP_i\mathrm{d}Q^i -K\mathrm{d}t)}_{~=:~\mathbb{L}_K} ~+~\mathrm{d}F,\tag{2}$ Wo $\lambda\neq 0$ ist eine Konstante ungleich Null.
Da die 2 Lagrange-1-Formen $\mathbb{L}_H$ Und $\mathbb{L}_K$ bis auf eine totale Ableitung und eine multiplikative Gesamtkonstante die gleiche Off-Shell sind $\lambda$ , ergeben sie dieselben Euler-Lagrange (EL)-Gleichungen , die in beiden Fällen eindeutig Hamilton-Gleichungen sind. Daher lässt die Koordinatentransformation (2) die Hamiltonschen Gleichungen forminvariant.
Gl. (2) stellen einen Begriff einer kanonischen Transformation (CT) dar, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

--

$^1$ OPs Generator $F=S(q,P,t)-\sum_{i=1}^nP_iQ^i$ ist vom Typ 2 und im Fall von OP $\lambda=1$ .

Tobi7 · Answer 2

Was Sie gefunden haben, ist im Grunde eine andere Möglichkeit, kanonische Transformationen zu beschreiben. Beginnen wir mit der Berechnung

{\dot{Q}}_{ich} = \frac{\partial Q_{ich}}{\partial Q_{J}} {\dot{Q}}_{J} + \frac{\partial Q_{ich}}{\partial P_{J}} \dot{P_{J}} = \frac{\partial Q_{ich}}{\partial Q_{J}} \frac{\partial H}{\partial P_{J}} - \frac{\partial Q_{ich}}{\partial P_{J}} \frac{\partial H}{\partial P_{J}} .

$\dot{Q}_i = \frac{\partial Q_i}{\partial q_j} \dot{q}_j + \frac{\partial Q_i}{\partial p_j} \dot{p_j} = \frac{\partial Q_i}{\partial q_j} \frac{\partial H}{\partial p_j} - \frac{\partial Q_i}{\partial p_j} \frac{\partial H}{\partial p_j}.$ Diese muss gleich sein

\frac{\partial H}{\partial P_{ich}} = \frac{\partial H}{\partial Q_{J}} \frac{\partial Q_{J}}{\partial P_{ich}} + \frac{\partial H}{\partial P_{J}} \frac{\partial P_{J}}{\partial P_{ich}} .

$\frac{\partial H}{\partial P_i} = \frac{\partial H}{\partial q_j} \frac{\partial q_j}{\partial P_i} + \frac{\partial H}{\partial P_j}\frac{\partial p_j}{\partial P_i}.$ Der Vergleich dieser beiden Gleichungen ergibt

\frac{\partial H}{\partial P_{J}} (\frac{\partial Q_{ich}}{\partial Q_{J}} - \frac{\partial P_{J}}{\partial P_{ich}}) = \frac{\partial H}{\partial Q_{J}} (\frac{\partial Q_{J}}{\partial P_{ich}} + \frac{\partial Q_{ich}}{\partial P_{J}}) .

$\frac{\partial H}{\partial p_j} \left( \frac{\partial Q_i}{\partial q_j} - \frac{\partial p_j}{\partial P_i}\right) = \frac{\partial H}{\partial q_j}\left(\frac{\partial q_j}{\partial P_i} + \frac{\partial Q_i}{\partial p_j}\right).$ Da weder

\partial H / \partial p_{j}

$\partial H / \partial p_j$ noch

\partial H / \partial q_{j}

$\partial H / \partial q_j$ identisch 0 sind, müssen die Ausdrücke in den Klammern gleich 0 sein. In Ihrem Fall müssen Sie zeigen, dass die erzeugende Funktion

S

$S$ ergibt eine Transformation, die diese Gleichungen einhält (ein ähnliches Argument für

{\dot{P}}_{i}

$\dot{P}_i$ ergibt die Identität in Ihrer Frage).

Aus theoretischer Sicht ist eine Transformation kanonisch, wenn die Poisson-Klammern beibehalten werden:

{Q_{ich}, Q_{J}} = 0, {P_{ich}, P_{J}} = 0, {Q_{ich}, P_{J}} = δ_{ich J} .

$\{Q_i, Q_j\} = 0, \qquad \{P_i, P_j\} = 0, \qquad \{Q_i, P_j\} = \delta_{ij}.$ Und von einem noch abstrakteren Standpunkt aus könnte jemand zeigen, dass eine Transformation kanonisch ist, indem er überprüft, ob sie die symplektische Struktur der Hamilton-Gleichungen beibehält. Wenn

J

$J$ ist die Jacobi-Matrix und

E

$E$ Die

2 n \times 2 n

$2n\times 2n$ Matrix

E = (\begin{matrix} 0 & δ_{ich J} \\ - δ ich J & 0 \end{matrix})

$E = \begin{pmatrix} 0 &\delta_{ij} \\ -\delta{ij} & 0 \end{pmatrix}$ dann bleibt die symplektische Struktur erhalten iff

J E J^{⊤} = E

$J E J^\top = E$ . Übrigens,

J

$J$ heißt in diesem Fall symplektisch.

Eine kanonische Transformation, die durch die erzeugende Funktion induziert wird $S$ muss alle drei Bedingungen erfüllen, aber da sie äquivalent sind, müssen Sie nur prüfen, ob eine davon wahr ist.

Hallo, danke für die Antwort. Wenn Sie sagen: „In Ihrem Fall müssen Sie zeigen, dass die erzeugende Funktion $S$ ergibt eine Transformation, die diese Gleichungen einhält" - das ist genau das Bit, an dem ich feststecke! Genauer gesagt, wie zeige ich, dass die zweite Klammer gleich Null ist: $\frac{\partial Q_{J}}{\partial P_{ich}} + \frac{\partial Q_{ich}}{\partial P_{J}} = 0 ?$ $\frac{\partial q_j}{\partial P_i}+\frac{\partial Q_i}{\partial p_j}=0?$
Schließen Sie einfach die Generierungsfunktion mit an $Q_i = \frac{\partial S}{\partial P_j}$ . Differenzieren Sie diesen Ausdruck in Bezug auf $p_j$ , was nachgeben sollte $0$ , seit $S$ hängt nicht davon ab $p_j$ .
Ich bin mir nicht sicher, ob ich dem zustimme. Genau genommen, wenn Sie eine Funktion mit Argumenten differenzieren würden $(\vec{q}, \vec{P})$ gegenüber $p_j$ Sie müssten sich erneut ausdrücken $\vec{P}$ als $\vec{P}(\vec{q},\vec{p})$ . Ihre Ableitung würde dann die Kettenregel beinhalten und ungleich Null sein $\frac{\partial S}{\partial P_{J}} = \frac{\partial S}{\partial P_{k}} \frac{\partial P_{k}}{\partial P_{J}} .$ $\frac{\partial S}{\partial p_j}=\frac{\partial S}{\partial P_k}\frac{\partial P_k}{\partial p_j}.$ Partielle Ableitungen beziehen sich auf eine Ableitung bzgl. eines bestimmten Slots der Argumente der Funktion.
Ich stimme Ihnen zu, mein Argument bezüglich der Ableitung ist nicht richtig. Aber ich habe darüber nachgedacht, die Symmetrie partieller Ableitungen auszunutzen, dh $\frac{\partial}{\partial P_{J}} \frac{\partial}{\partial P_{k}} S = \frac{\partial}{\partial P_{k}} \frac{\partial}{\partial P_{J}} S$ $\frac{\partial}{\partial p_j}\frac{\partial}{\partial P_k}S = \frac{\partial}{\partial P_k}\frac{\partial}{\partial p_j}S$ . Was denken Sie?
Hey, ich habe die "offizielle Lösung" nach einigem Surfen im Internet gefunden. Es ist hier, wenn Sie interessiert sind: damtp.cam.ac.uk/user/acla2/IS_handout1.pdf . Es stellt sich heraus, dass unser Ansatz möglicherweise nicht der richtige war. Vielmehr sollen Sie die Tatsache nutzen, dass eine Transformation $X \to j (X)$ $x\to y(x)$ ist kanonisch genau dann, wenn die Jacobi-Matrix $Dy$ ist symplektisch $D j J (D j)^{T} = J$ $Dy J (Dy)^T=J$

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