Gesamtzahl der Teilmengen in einer Menge

Es stimmt nicht , wenn$k$Ereignisse sind unabhängig und haben jeweils$m$unterschiedliche Ergebnisse, dann gibt es$k\times m$Möglichkeiten. Die wahre Zahl ist eigentlich$m^k$, was uns hier sofort eine Formel für die Anzahl der Teilmengen liefert.

Der$m\times n$Ausdruck, den Sie geben, stammt aus einem anderen Szenario: Es gibt$2$unabhängige Veranstaltungen; das erste Ereignis hat$m$Möglichkeiten; das zweite Ereignis hat$n$Möglichkeiten. Wir können sehen, wie die$m^k$Regel entsteht durch wiederholte Anwendung dieser Regel (bis wir die Situation eingebrochen haben$k$unabhängige Veranstaltungen) in dem besonderen Fall, wo$m=n$.

Einige Beispiele für jede Regel:

$2\times 5$stellt im Fall des "multiplikativen Prinzips" ein Ereignis dar, in das unterteilt werden kann$2$unabhängige Wahlmöglichkeiten: Für die erste Wahl gibt es$2$mögliche Resultate; für die zweite gibt es$5$. Zum Beispiel bei der Auswahl einer Ziffer aus$\{0,1,2,\dots,9\}$Sie können den Prozess aufteilen in:

• Wählen Sie „ungerade“ oder „gerade“.
• Wählen Sie eine Zahl aus den fünf verbleibenden Optionen ($\{0,2,4,6,8\}$oder$\{1,3,5,7,9\}$). (Eine alternative Möglichkeit, dies zu formulieren: auswählen$n$aus$\{0,1,2,3,4\}$und dann ist deine nummer$2n+1$wenn Sie "ungerade" gewählt haben und$2n$wenn Sie "gerade" gewählt haben.)

Und natürlich gibt es sie$10=2\times 5$Ziffern zur Auswahl, also gilt unsere Formel.

Bei Teilmengen von$\{1,2,3,4,5\}$, können wir das Ereignis in fünf unabhängige Auswahlmöglichkeiten aufteilen (nicht$2$), also haben wir eine Multiplikation von fünf verschiedenen Zahlen. Bei den Auswahlmöglichkeiten geht es darum, ob eingeschlossen oder ausgeschlossen werden soll$1,2,3,4$Und$5$. In jeder Auswahl gibt es$2$Optionen: einschließen oder ausschließen. Unsere Multiplikation ist also$2\times 2\times 2\times 2\times 2=2^5=32$.

Lassen$\Omega$sei eine endliche Menge.

Dann können Sie so denken: für jede Teilmenge$S\subseteq\Omega$, jedes Element$\omega_{i}\in\Omega$zu einer solchen Menge gehören oder nicht gehören$S$, Wo$1\leq i \leq n$.

Die erste Entscheidung hat also zwei Möglichkeiten: entweder$w_{1}\in S$oder$w_{1}\not\in S$.

Wenn Sie die erste Entscheidung getroffen haben, gibt es für die zweite Entscheidung zwei Möglichkeiten: entweder$w_{2}\in S$oder$w_{2}\not\in S$.

Dieser Prozess wird bis zum letzten Element fortgesetzt$\omega_{n}$gilt als.

Weil dort sind$n$Elemente und zwei Möglichkeiten, die mit jeder Entscheidung verbunden sind, schließen wir$|\mathcal{P}(\Omega)| = 2^{n}$.

Hoffentlich hilft das!

Es könnte hilfreich sein, wenn Sie sich Ihren 5-Elemente-Satz als Bank mit 5 Bits oder als elektrische Lichtschalter vorstellen.

Um eine Teilmenge zu bilden, müssen Sie die Reihe durchgehen und für jedes Element eine Entscheidung treffen, ob es sich in oder außerhalb der Teilmenge befindet. In der Bit-Darstellung wird dies angezeigt, indem jeder Schalter entweder ein- oder ausgeschaltet wird.

Das multiplikative Prinzip besteht darin, dass jedes Ereignis einen separaten Faktor bei der Zählung der gesamten Auswahlmöglichkeiten generiert. In diesem Fall ist jeder Schalter ein separates einfaches Ereignis. Es gibt 2 Möglichkeiten, den ersten Schalter einzustellen, mal 2 Möglichkeiten, den zweiten Schalter einzustellen usw., also insgesamt$2^5$Möglichkeiten, die 5 Schalter einzustellen.

Erwägen Sie als Übung, alle verschiedenen Möglichkeiten in Form von 5-Bit-Strings aufzuschreiben. Es gibt 00000 (alle Schalter aus, dh alle Elemente aus der Teilmenge, dh der leeren Menge), 00001 (nur der ganz rechte Schalter an), 00010, 00011 usw.