Gibt es eine Art Korrespondenz zwischen Gruppen und Partitionen einer Menge?

Jede Gruppenaktion auf einem Set$S$teilt die Menge in Umlaufbahnen auf. Umgekehrt gilt für jede Partition von$S$Gibt es eine Gruppenwirkung derart, dass die Menge der Bahnen der Gruppenwirkung gleich der Partition ist?

Mein Versuch. Lassen$P = \{S_1,\dots, S_k\}$sei eine Partition einer endlichen Menge$S$der Ordnung$n$. Dann gibt es Elemente von$G = Perm(S)$, die Menge der Permutationen von$S$, die jede Teilmenge fest lassen, dh$g\in G$so dass$g\cdot S_i = \{gs : s\in S_i\} = S_i, \forall i$. Denken Sie an die Permutationen, die alles reparieren$S$außer Permuten$S_i$möglicherweise auf eine nicht triviale Weise. Wenn$g, h$sind dann solche Elemente$gS_i = S_i, \forall i$, So$g^{-1} S_i = S_i$, wobei die Aktion auch eine Aktion auf den Teilmengen ist. Ähnlich$g\cdot h S_i = g S_i = S_i$. Also die Menge aller$P$-stabilisierende Elemente ist eine Untergruppe von$G$.

Gruppen sind in Übereinstimmung mit Untergruppen von bekannt$G$. Bitte kommentieren.

Motivation: Gibt es einen gruppentheoretischen Weg, Partitionen einer Menge von Größen zu zählen?$n$? Damit es vielleicht helfen kann, Formeln über letzteres zu beweisen.

Laut m_l in einem Kommentar gibt es hier keine Anwendung zum Zählen von Partitionen, die nicht dazu führt, dass die Partitionen auf die bekannte Weise gezählt werden müssen.

Ich dachte, wir haben noch nicht darüber nachgedacht, zumindest ich nicht, die Menge der Partitionen von$S$selbst, nennen Sie es$P(S)$, und die Gruppe$G = Perm(S)$darauf einwirken. Das Schöne daran$G = Perm(S)$ist, dass jede endliche Gruppe zu einer ihrer Untergruppen isomorph ist. Also wenn$H \leqslant G$, Und$H'$Wird die Gruppe auf andere Weise dargestellt, dann sagen wir fast alles darüber$H$angewendet werden kann$H'$in Bezug auf Gruppenaktionen auf$S$oder$P(S)$. Hoffentlich, also behalten wir das im Hinterkopf. Mit anderen Worten, jede Partition entspricht einer Partition des Satzes von Untergruppen von$G$. Aber wir sollten mehr darüber sagen. Ich komme hier vom Kurs ab, also fahre fort...

Definieren Sie die Aktion von$G$An$P(S),$sein$g \cdot P = \cup_{i=|P|} \{ g\cdot S_i \}$, Wo$g\cdot S_i$ist das Element$g$am Block wirken$S_i$verklagt einfache coset multipilcation. Dementsprechend gibt es einen offensichtlichen Weg zu machen$G$wirken auf die Menge aller Teilmengen von$S$.

Ohnehin. Da merkt man die Aktion an$P(S)$definiert eine Gruppenaktion. Beweis: Die Identitätspermutation legt offensichtlich eine Partition fest. Und$g(h P) = g\cdot\cup_{i=1..|P|} \{ h\cdot S_i \}$. Beachten Sie das seit$g$wirkt auf die Menge der Teilmengen von$S$,$g(hP) = (gh)P. \ $Der Rest des Beweises bleibt dem Leser überlassen.

Lassen Sie uns die Notation ein wenig ändern.$P\in P(S)$wird jetzt aufgerufen$p$, Und$P(S)$wird angerufen werden$P$.

Eine Umlaufbahn ist einfach$O_p = G\cdot p \subset P(S)$. Wir haben die Klassengleichung

$|P(S)| = \sum_{orbits} |O_p|$

Lemma von Burnside:

# Umlaufbahnen $= 1/|G| \sum_{g\in G}|P^g|, \ $Wo$P^g$ist die Menge aller Partitionen, die durch festgelegt sind$g$.

und die Indexzählformel

$|G| = |H_p||O_p| = |H_p|[G:H_p], \ $Wo$H_p = Stab(p)$ist der Stabilisator der Partition$p$.