Gibt es eine Möglichkeit festzustellen, ob eine ganze Zahl zwischen zwei rationalen Zahlen liegt, ohne sie zu kennen?

Ich möchte wissen, ob es eine mathematische Bedingung (ohne Beteiligung der Bodenfunktion) gibt, dass es eine ganze Zahl zwischen 2 rationalen Zahlen gibt a & β . ich weiß, dass

β > [ a ] + 1
aber ich weiß nicht wirklich, was ich mit der Greatest Integer Function machen soll, da ich keine Ahnung habe, was die beiden Zahlen sind.

Quelle des Problems:

Zeigen Sie, dass es keinen Bruch gibt e F Wo F < B + D das liegt zwischen 2 "Nachbarbrüchen" A B & C D ( C D − A B = 1 B D )

Bisher habe ich das festgestellt e kann eine beliebige Zahl im Intervall sein [ F ⋅ ( A B ) : F ⋅ ( A B + 1 B D ) ] und wollen die Werte von finden F für die eine ganze Zahl im Intervall liegt

Die Notation [ a ] hat mehrere mögliche Bedeutungen. Welche davon wird in Ihrer Annahme verwendet?
Größte ganzzahlige Funktion; derjenige, der α auf die nächste ganze Zahl abrundet
Mit anderen Worten, die Bodenfunktion, richtig? Was du gesagt hast, willst du nicht mit einbeziehen, aber wenn die Aussage schon die einzige Eigenschaft ist a Und β Sie wissen, dass diese Funktion enthalten ist, wie kann man sich vorstellen, sie zu vermeiden?
Ich glaube das habe ich falsch geschrieben. Ich habe gerade die Bedingung mit der Bodenfunktion erwähnt, um zu testen, ob eine ganze Zahl zwischen α & β liegt, aber ich kann damit nicht wirklich etwas anfangen, da ich die numerischen Werte der beiden Zahlen nicht kenne (wie in der Quelle von erwähnt das Problem). Ich möchte nur wissen, ob es einen algebraischen Weg gibt, es zu testen
Sind A , B , C , D , e , F positive ganze Zahlen in der Quelle des Problems?
Ja. Das hätte ich auch erwähnen sollen. Das tut mir leid
Beantwortet das deine Frage? Nachbarbruchproblem
Nicht wirklich. Ich habe andere Beweise für dieses Problem gesehen, aber ich versuche, es mit einer anderen Methode zu lösen

Antworten (2)

Mit allen Nennern multipliziert ergeben sich folgende Bedingungen:

A D F < e B D < C B F , C B − A D = 1 , F < B + D .
Insbesondere,
a := ( e B − A F ) D > 0 Und β := ( C F − e D ) B > 0.
Aber auch
a + β = ( e B − A F ) D + ( C F − e D ) B = ( C B − A D ) F = F .
Daher haben wir D | a , B | β (und somit D ≤ a , B ≤ β ), Und a + β = F < B + D ≤ a + β , was absurd ist.

was genau meinst du mit d|α, b|β ?
D teilt a Und B teilt β .
Danke schön; Ich kann den Beweis jetzt leicht verstehen. Könnten Sie näher darauf eingehen, wie/warum Sie α & β so definiert haben, wie Sie es getan haben? Ich versuche, meine Fähigkeiten im Korrekturschreiben zu verbessern. Obwohl ich Ihren Beweis verstehe, hätte ich es nie so versucht
@OVERWOOTCH Um ehrlich zu sein, habe ich gerade herumprobiert, um etwas Sinnvolles zu finden. Ich denke, es war eine Art Intuition. Tut mir leid, dass ich dir in dieser Angelegenheit nicht helfen kann.

Abgesehen von der möglichen Anwendung auf "Nachbarbrüche", betrachten wir hinreichende Bedingungen für rationale Zahlen R , S die eine ganze Zahl garantieren k streng zwischen ihnen.

Offensichtlich einige Kenntnisse über R , S wird benötigt, da es viele Paare rationaler Zahlen ohne eine ganze Zahl zwischen ihnen gibt. Ohne die Bodenfunktion zu verwenden, kann man aus der Information darüber, wie weit auseinander liegt, die "ganze Zahl existiert dazwischen" ableiten R , S Sind.

Wenn | R − S | > 1 , dann gibt es eine ganze Zahl k strikt dazwischen R Und S .

Wenn mindestens einer von R , S selbst keine ganze Zahl ist, kann dies verbessert werden, um lediglich zu erfordern | R − S | ≥ 1 .

Dies sind ausreichende, aber nicht notwendige Bedingungen, oder? Obwohl ich sie nicht auf mein Problem anwenden kann, sind sie dennoch hilfreich, um Erkenntnisse zu gewinnen
Wir sollten nach Informationen zu Ihrer suchen a , β das hindert sie daran, ein zufälliges Paar rationaler Zahlen zu sein. Andernfalls haben wir keine Hoffnung, zu beweisen, dass zwischen ihnen eine ganze Zahl existiert.
Gibt es eine Möglichkeit festzustellen, ob eine ganze Zahl zwischen zwei rationalen Zahlen liegt, ohne sie zu kennen?
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