Gibt es eine Verallgemeinerung der transfiniten Rekursion, die es ermöglicht, geeignete Klassen zu definieren?

Lassen Sie mich mit Mengentheorien zweiter Ordnung wie z$\mathsf{NBG}$Klassen bequemer zu handhaben.

Dies hängt von der Komplexität der Klassen ab, die Sie definieren möchten. Zum Beispiel die triviale Abfolge von Klassen (z. B.$S_\alpha=V$für alle$\alpha$) erfordert darüber hinaus keine Maschinen$\mathsf{NBG}$. Allerdings genießt nicht jede Klasse ein solches Eigentum.

Bevor ich die „Schwierigkeit“ der Klassenrekursion erkläre, möchte ich mit einem positiven Ergebnis beginnen: der Morse-Kelley-Mengentheorie$\mathsf{MK}$beweist, dass eine solche Rekursion möglich ist. Genauer,$\mathsf{MK}$beweist

Satz. ($\Sigma^1_\omega$-transfinite Rekursion) Let$\phi(x,Y,P)$sei eine Formel der Mengenlehre zweiter Ordnung mit einem Klassenparameter$P$, Und$R$sei eine begründete Klassenbeziehung mit dem transitiven Abschluss$<_R$. Dann gibt es eine Klasse$S\subseteq \operatorname{dom}R\times V$so dass

$$(S)_r=\{x:\phi(x,S\upharpoonright r, A)\}$$ für alle$r\in \operatorname{dom}R$, Wo$S\upharpoonright r:=S\cap \{r'\in \operatorname{dom}R\mid r'<_R r\}\times V$.

(In der Tat,$\Sigma^1_\omega$-transfinite Rekursion ist äquivalent zum vollständigen Trennungsschema zweiter Ordnung vorbei$\mathsf{NBG}$.)

Wir können das sehen$\Sigma^1_\omega$-transfinite Rekursion arbeitet mit einer Klassenordnung anstelle von Ordnungszahlen. Der Grund dafür ist, dass Klassen-Brunnen-Ordnungen eine längere „Länge“ haben können als die Klasse$\mathrm{Ord}$aller Ordnungszahlen:$\mathrm{Ord}+1$oder$\mathrm{Ord}\cdot 2$wären einfache Beispiele.

Wie zu erwarten ist, transfinite Rekursion über 'längere' wohlgeordnete und 'mit einer komplexeren$\phi$“ erfordert viel Kraft. Laut einem Diagramm in Williams Doktorarbeit (gedruckte Seite Nummer 58, pdf Seite Nummer 66 des verlinkten Papiers) ist die Komplexität von$\phi$beeinflusst mehr die Stärke des transfiniten Rekursionsschemas als die Länge von$<_R$. (Beachten Sie auch, dass Williams verwendet$\mathsf{GBC}$Und$\mathsf{KM}$zum bezeichnen$\mathsf{NGB}$Und$\mathsf{MK}$bzw.)

Wir können diese transfinite Rekursion für Formeln erster Ordnung sehen (wie Williams es nannte$\Sigma^1_0$-Formeln) der Länge$\omega$beweist, dass das Wahrheitsprädikat einer Mengentheorie erster Ordnung existiert. Jedoch,$\mathsf{NBG}$beweist nicht, dass es ein Wahrheitsprädikat einer Mengentheorie erster Ordnung gibt$\mathsf{NBG}$ist eine konservative Erweiterung von$\mathsf{ZFC}$.

Daher,$\mathsf{NBG}$hat einige nicht definierbare Klassen. Das Wahrheitsprädikat der Mengenlehre erster Ordnung ist ein Beispiel, wie wir gesehen haben. Ein weiteres Beispiel für eine nicht definierbare Klasse over$\mathsf{NBG}$ist die Klassenzwangsrelation, die in bewiesen wird

Victoria Gitman, Joel David Hamkins, Peter Holy, Philipp Schlicht und Kameryn Williams. "Die genaue Stärke des Klassenzwangssatzes." The Journal of Symbolic Logic 85.3 (2020) S. 869 - 905.