Gibt es einen besseren/schnelleren Weg, Stammfunktionen einfacher Funktionen zu nehmen, als die Ableitungsregeln "umzukehren"?

Update : Für das, was es wert ist, werde ich noch ein paar Stunden warten, um zu sehen, ob jemand eine umfassendere Antwort auf meine Frage hat. Aber wenn nicht, werde ich eine der beiden vorhandenen Antworten "akzeptieren", die beide sehr gut sind, wenn auch nicht ganz so umfassend, wie ich gehofft hatte.

Ich nehme gerade AP Calculus AB und wir lernen Stammfunktionen (unbestimmte Integrale) für Einheit II. Davor haben wir einige grundlegende Ableitungsregeln für transformierte Funktionen gelernt, wie zum Beispiel:

[ F ( X + A ) ] ] ' = F ' ( X + A )

[ F ( A X ) ] ' = A ∗ F ' ( A X )

(Wir haben auch die Ableitungen einiger elementarer Funktionen gelernt, z. B. Polynome, Exponentialfunktionen, Sinus und Cosinus.)

Für Stammfunktionen haben wir ebenfalls Formeln für einige grundlegende Funktionen auswendig gelernt (und bewiesen), aber anders als bei Ableitungen wurde uns überhaupt nicht viel darüber beigebracht, was mit transformierten Funktionen zu tun ist.

Stellen Sie sich zum Beispiel vor, die Stammfunktion zu finden F ( X ) Wenn F ( X ) = 1 / ( 4 X ) . Oder die Stammfunktion finden G ( X ) Wenn G ( X ) = cos ⁡ ( 4 X ) . (Oder noch schlimmer, wie wäre es, wenn F ( X ) war eigentlich 1 / ( 4 X − 3 ) , Und G ( X ) war eigentlich cos ⁡ ( 4 X − 3 ) ?) Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich solche Probleme systematisch und sorgfältig lösen soll.

Soll ich versuchen, eine ganzzahlige u -Substitution oder ähnliche Tricks zu lernen (die wir im Unterricht noch nicht behandelt haben), oder ist es besser, wenn ich einfach versuche, die Differenzierungsregeln so gut wie möglich intuitiv "umzukehren" ? Ich möchte eine relativ effiziente Methode zur Integration grundlegender Funktionen finden, bin aber im Moment ziemlich verwirrt. (Der Versuch, die Differenzierungsregeln umzukehren, bereitet mir oft Kopfschmerzen, haha, und ich verliere mich völlig, weil es schwierig ist, rückwärts zu denken.)

Funktionen systematisch zu integrieren ist wirklich, wirklich schwierig. Generell ist Differenzierung eine Wissenschaft und Integration eine Kunst. Das soll nicht heißen, dass Sie sich entmutigen lassen sollten, nur dass Sie nicht überrascht sein sollten, wenn die Integrationshälfte Ihrer Analysis-Klasse trotz der Differenzierung so aussieht wie "Hier sind einige zufällige Tricks, die funktionieren, wenn Sie sie geschickt einsetzen". die Hälfte war systematischer.
Woran ich mich an AP Calculus BC am wenigsten erinnere, waren die vielen Tricks, die wir uns merken mussten, hauptsächlich für Integrale. Zumindest in AB bekommt man dadurch offenbar eine gewisse Erleichterung. Ihre speziellen Beispiele lassen sich leicht durch u-Substitution handhaben, viele andere Integrale jedoch nicht.
@ Micha Sehr wahr .

Antworten (2)

Für kompliziertere Funktionskompositionen müssen Sie die Substitutionsregeln lernen. Aber für einfache Dinge, wie G ( X ) := cos ⁡ ( 4 X − 3 ) , ist es schneller, eine vernünftige Vermutung anzustellen und dann "die Konstanten zu korrigieren". Die vernünftige Vermutung für das Obige G ist „etwas mit Sünde ⁡ ( 4 X − 3 ) ". Differenzieren Sünde ⁡ ( 4 X − 3 ) gibt 4 cos ⁡ ( 4 X − 3 ) mit einem unerwünschten Faktor von 4 . Daraus folgt unmittelbar, dass die richtigen Stammfunktionen von G sind von der Form 1 4 Sünde ⁡ ( 4 X − 3 ) + C .

Integrale sind wirklich, wirklich schwer bis zu dem Punkt, dass einige von ihnen, die Funktionen verwenden, die einfach zu verstehen sind, unmöglich sind, eine Stammfunktion zu finden (z. ∫ e − X 2 D X kann er nicht „einfach“ ausdrücken. Es gibt jedoch einige komplexere Integrationsmethoden (wie Cauchys Integralformel ), bei denen es nicht unbedingt darum geht, Stammfunktionen zu finden, aber diese Integralformeln sind nur Sonderfälle, und Sie werden sie wahrscheinlich im Laufe Ihres AB-Kurses nicht lernen .

Im Allgemeinen wird jede Integrationsmethode, die Sie in Ihrer Klasse anwenden, nur Ableitungsregeln rückwärts anwenden. Aber mit der Zeit werden Sie, ähnlich wie Sie wahrscheinlich gelernt haben, Ausdrücke schnell in Algebra zu faktorisieren, schneller erkennen, was in einem bestimmten Integral zu tun ist. Aber Sie werden immer noch Ableitungsregeln rückwärts anwenden. Wenn Sie jedoch wirklich Probleme haben, empfehle ich, die u-Substitution und andere einfachere integrale Regeln zu lernen. Sie verstecken im Wesentlichen nur das Trial-and-Error-Prinzip unter Formeln, sparen aber dennoch eine Menge Zeit bei komplexeren Integralen.

Gibt es einen besseren/schnelleren Weg, Stammfunktionen einfacher Funktionen zu nehmen, als die Ableitungsregeln "umzukehren"?
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