Gibt es einen groben analytischen Ausdruck für die radiale Massenverteilung der Milchstraße?

Was wäre für die Zwecke dieser einfachen Übung ein analytischer Ausdruck, der ungefähr dem radialen Dichteprofil der Milchstraße entspricht, projiziert auf ihre Äquatorebene?

Das einfachste Beispiel, mit dem Astronomen arbeiten, ist das radiale Dichteprofil einer Single Isothermal Sphere (SIS). Es wird so genannt, weil es kugelsymmetrisch ist (und daher für Ihre Zwecke auf eine 2D-Ebene anwendbar ist) und alle Objekte mit derselben Geschwindigkeit umkreisen (und daher dieselbe "Temperatur" haben, daher isothermisch). Das Dichteprofil hat die Form:

$$\rho(r) = \frac{v^2}{4\pi Gr^2}$$

Wo$v$ist die Rotationsgeschwindigkeit. Beachten Sie, dass Sie möglicherweise andere Formulierungen sehen, die verwenden$\sigma_v$statt$v$. In diesem Fall verwenden sie die Geschwindigkeitsdispersion , die sich geringfügig von der Rotationsgeschwindigkeit unterscheidet.

Andere, realistischere Dichteprofile wurden gefunden, indem man Simulationen des Universums durchführte und Funktionsgleichungen an die Dichteprofile der resultierenden Galaxien anpasste. Solche beliebten Ergebnisse sind das NFW-Profil und das Einasto-Profil .

Das NFW-Profil ist eine Funktion mit zwei Parametern, gegeben durch

$$\rho(r) = \frac{\rho_0}{\frac{r}{R_S}\Big(1+\frac{r}{R_S}\Big)^2}$$

Wo$\rho_0$Und$R_S$und zwei Halo-abhängige Parameter.

Das Einasto-Profil ist wiederum ein Zwei-Parameter-Modell, gegeben durch

$$\rho(r) \propto \exp(-Ar^\alpha)$$

Wo$A$Und$\alpha$sind konfigurierbare Parameter.

Bei kugelsymmetrischen Verteilungen erlaubt das Newtonsche Schalentheorem, die gesamte Masse innerhalb einer Kugel, die durch den Radius einer Umlaufbahn definiert ist, so zu behandeln, als ob sie sich im Zentrum befände, und die gesamte Masse in der Schale außerhalb dieses Radius zu ignorieren. Gibt es so etwas wie ein Analogon für eine radiale Verteilung innerhalb einer Ebene?

Das Shell-Theorem für die Schwerkraft erstreckt sich nicht auf einen 2D-Ring. Ich möchte jedoch sagen, dass, wenn es um die Umlaufbahnen von Sternen in Galaxien geht, die Masse von Sternen außerhalb der Umlaufbahn eines Sterns im Allgemeinen als vernachlässigbar angesehen wird. Der Hauptgrund dafür ist, dass es die Dunkle Materie ist, die den größten Teil der Masse einer Galaxie ausmacht und am meisten dazu beiträgt, die Umlaufbahn eines Sterns in einer Galaxie zu definieren. Der Halo aus Dunkler Materie wird oft als kugelsymmetrisch angenommen, in diesem Fall gilt Newtons Shell-Theorem, und die Masse, mit der Sie sich bei der Bestimmung der Umlaufbahn eines Sterns befassen, ist die Masse des Halo mit Dunkler Materie innerhalb der Umlaufbahn des Sterns.

@Rob Jeffries erwähnte, dass "Sie die Dichteverteilung erhalten, indem Sie sich die Geschwindigkeitsdaten ansehen." Ich glaube auch, dass Sie danach suchen, also werde ich einige Berechnungsdetails geben.

Nehmen Sie Kugelsymmetrie und Kreisbewegung an, die Schwerkraft entspricht der Kreisbewegung als

$$\alpha \frac{GMm}{R^2} = \frac{mv^2}{R}$$ Wo $G$ist Gravitationskonstante, $M$ist die eingeschlossene Masse im radialen Abstand $R$, $v$ist die tangentiale (nicht radiale) Geschwindigkeit, $m$ist eine Testmasse, und $\alpha$ist eine Konstante für effektives Potential, die von der angenommenen Form des Potentials abhängt. Dann können wir die Masse ausdrücken $M$als Dichteprofil $\rho$. Mit der sphärischen Symmetrie, dem Profil $\rho \propto M R^{-3}$. Deshalb, $$\alpha' G \rho R^2 = v^2 .$$

Da wir beobachtend die Rotationskurve konstruieren können, die ist$v = f(R)$, das Dichteprofil ist dann nur eine Funktion von$R$:$\rho = g(R)$, dh die radiale Massenverteilung.

Einige Notizen beinhalten i) die Masse$M$beinhaltet dunkle Materie; ii)$v$ist die Tangentialgeschwindigkeit, nicht die Radialgeschwindigkeit, wie in der von Ihnen erwähnten Abbildung dargestellt.