Gibt es einen Namen für die Konstruktion von Objekten als n-Tupel mit Axiomen aus einer Menge von Elementen?

Die andere Antwort konzentriert sich nur auf Strukturen in der Logik erster Ordnung, was keine gute Idee ist. Was Sie im Allgemeinen betrachten, werden Axiomatisierungen genannt , und es gibt viele weit verbreitete Strukturen, deren Axiomatisierungen nicht erster Ordnung sind. Zum Beispiel die Standard-Axiomatisierung der Realzahlenist eine Axiomatisierung zweiter Ordnung, da das Supremum-Axiom ein Axiom zweiter Ordnung ist. Beachten Sie, dass dies vom umgebenden Fundamentalsystem abhängt, da das oberste Axiom nur auf Mengen von Realzahlen angewendet werden kann und welche Mengen von Realzahlen existieren, hängt von den Axiomen des Fundamentalsystems ab. Im Allgemeinen legt eine Struktur mit einer Axiomatisierung zweiter Ordnung nicht fest, welche Mengen von Elementen existieren, und ist daher nicht so „absolut“ wie Axiomatisierungen erster Ordnung. Es stellt sich heraus, dass es keine Axiomatisierung erster Ordnung der Realzahlen geben kann, wie sie in diesem Beitrag kurz angesprochen wird .

Einige weit verbreitete mathematische Strukturen, die eine Axiomatisierung zweiter Ordnung erfordern, sind:

1. Topologischer Raum : Eine Sammlung von Mengen, die unter (binärer) Schnittmenge und willkürlicher Vereinigung abgeschlossen ist. [Beliebige Vereinigung ist zweiter Ordnung.]

2. Maßraum : Ein Maßraum ist eine σ-Algebra$S$mit einer nicht-negativen abzählbar-additiven reellen Funktion an$S$. Eine σ-Algebra ist eine Sammlung von Teilmengen einer Menge$X$das unter Komplement relativ zu abgeschlossen ist$X$und zählbare Vereinigung. [Zählbare Additivität/Vereinigung sind 2. Ordnung.]

3. Vollständiger metrischer Raum : Ein vollständiger metrischer Raum ist ein metrischer Raum, der unter den Grenzen von Cauchy-Folgen "geschlossen" ist. [Cauchy-Folgen sind zweiter Ordnung.]

4. Ordinalzahlen : Die Klasse der Ordinalzahlen ist die Schnittmenge aller Klassen, die unter Nachfolgern abgeschlossen sind (d. h$x↦x\cup\{x\}$) und willkürliche (Mengengröße) Vereinigung. [Beliebige Vereinigung ist zweiter Ordnung. Dieses Beispiel wird am besten in einer Klassentheorie wie NBG ausgedrückt.]

Der Grundbestandteil jeder Axiomatisierung ist ein formales System (das in der Mathematik fast immer auf klassischer Logik erster Ordnung basiert), gepaart mit Regeln oder Axiomen über den Gegenstand. In diesem Beitrag erfahren Sie mehr darüber, was Axiome für Strukturen erster Ordnung bedeuten. Eine Theorie erster Ordnung wird vollständig durch FOL plus die Axiome für diese Theorie definiert, aber manchmal ist es intuitiver, Regeln als Axiome zu haben, wie zum Beispiel die Induktionsregel:

Induktion : Gegeben irgendeine Eigenschaft$Q$An$\mathbb{N}$, wenn Sie abgeleitet haben$Q(0)$Und$∀k∈\mathbb{N}\ ( Q(k)⇒Q(k+1) )$(in einem bestimmten Kontext), dann können Sie ableiten$∀k∈\mathbb{N}\ ( Q(k) )$(im selben Kontext).

Vergleichen Sie mit dem Induktionsaxiomschema (dh Liste der Axiome) für Mengentheorien erster Ordnung mit$⟨\mathbb{N},0,1,+⟩$definiert:

Induktionsschema : Hier ist das Axiom$φ(0) ∧ ∀k∈\mathbb{N}\ ( φ(k)⇒φ(k+1) ) ⇒ ∀k∈\mathbb{N}\ ( φ(k) )$, für jede Formel$φ$.

Obwohl beide gleichwertig sind, ist es vorteilhaft, die Induktion als Regel zu verstehen, wie in diesem Beitrag erläutert .

Außerdem sind, wie bereits erwähnt, Axiomatisierungen zweiter Ordnung nicht wirklich vollständig in dem Sinne, dass sie Teil eines größeren grundlegenden Systems sein müssen. Kategoritätssätze (etwa die Eindeutigkeit der reellen Zahlen bis hin zur Isomorphie) zeigen jedoch, dass teilweise Axiomatisierungen zweiter Ordnung durchaus ausreichend sein können. Beispielsweise reicht die Axiomatisierung der reellen Zahlen plus einiger relativ schwacher mengentheoretischer Axiome aus, um zu beweisen, dass es ein Modell der reellen Axiome gibt, das zu jedem Modell der reellen Axiome isomorph ist. Dies impliziert, dass es in jeder mengentheoretischen Welt, die diese erfüllt, im Wesentlichen nur ein Modell der realen Axiome gibt. Natürlich können verschiedene mengentheoretische Welten nicht isomorphe reelle Zahlen haben, genauso wie verschiedene Modelle einer Theorie erster Ordnung nicht isomorph sein können.

Das Tupelformat ist lediglich ein Artefakt dafür, wie wir den Begriff einer Theorie erster Ordnung in einem grundlegenden System codieren können, das Tupel und Sammlungen sowie Funktionen und Beziehungen unterstützt. Da jede Theorie erster Ordnung beschreibt, was für einige Strukturen gilt, kann jede Struktur erster Ordnung, die diese Theorie erfüllt, durch ihre Domäne (die Objekte in dieser Struktur) und die Bedeutung jedes Symbols in der Sprache in dieser Struktur beschrieben werden. Praktische Axiomatisierungen haben normalerweise endlich viele Symbole, weshalb Sie die Domänen- und Symbolinterpretationen normalerweise als Tupel aufgelistet sehen, wobei die Domäne herkömmlicherweise an erster Stelle steht. AllgemeinTheorien/Strukturen erster Ordnung können beliebige Symbole haben, sogar unzählige, in diesem Fall können Sie kein einfaches Tupel verwenden, sondern müssen eine Interpretationsfunktion verwenden, um jedes Symbol seiner Bedeutung in dieser Struktur zuzuordnen.

Formal wird dies als Struktur bezeichnet . Eine Struktur ist ein Tripel$(A, \sigma, I)$bestehend aus einer Domäne$A$, eine Unterschrift$\sigma$, und eine Interpretationsfunktion$I$. Eine Signatur ist ein Tupel$\sigma = (S_\text{fun}, S_\text{rel}, \text{ar})$bestehend aus einer Reihe von Funktionssymbolen$S_\text{fun}$, ein Satz von Beziehungssymbolen$S_\text{rel}$, und eine Funktion$\text{ar} : S_\text{fun} \cup S_\text{rel} \rightarrow \mathbb{N}$die jedem Symbol eine Zahl zuweist. Die Interpretationsfunktion _$I$ordnet jedem Funktionssymbol eine Funktion und jedem Beziehungssymbol eine Relation zu. Das ist,

Wo$\mathcal{P}$ist der Kraftsatz .

Zum Beispiel für eine Gruppe, die wir haben$S_\text{fun} = \{\mathtt{1}, \mathtt{\times}, \mathtt{^{-1}}\}$Und$\text{ar} = \{(\mathtt{1}, 0), (\mathtt{^{-1}}, 1), (\mathtt{\times}, 2)\}$.