Gibt es einen Vektor, der nicht als Tupel von Skalaren geschrieben werden kann?

Die abstrakteste/allgemeinste Definition eines Vektors

Die allgemeinste Definition eines Vektors ist die als Element eines Vektorraums. Gegeben ein Vektor u , können wir immer sagen, dass es einen Vektorraum gibt v Das v ist ein Element von.

dh

∃   v : u ∈ v   , ∀ u

Vektoren, die als Tupel von Skalaren definiert sind

Ein am allgemeinsten definierter Skalar ist ein Element eines Feldes F (z.B R Und C ), wobei ein Körper nur eine Menge ist, die die Axiome der Addition und Multiplikation erfüllt. Zum Beispiel jede reelle Zahl (wobei ein offensichtliches Element die Menge der reellen Zahlen ist R ) ist ein Skalar.

Wir wissen, dass wir Vektoren schreiben können als N - Tupel von Skalaren.

Ein Vektor w als Element des Vektorraums R N , können in Form von Skalaren als Elemente des Körpers der reellen Zahlen geschrieben werden R .

w = [ X 1 X 2 . . . X N ]

Wo X ich ∈ R

Frage :

Gegeben ein Vektor u als Element eines Vektorraums F N , können wir immer eine finden N -Tupel von Skalaren als Elemente eines Feldes F zu repräsentieren u von? Formeller gefragt:

Gegeben u   ∈ F N , können wir sagen ∃   T : u ≅ T

Wo T ist etwas willkürlich N -Tupel: T = ( X 1 , X 2 , . . . X N ) und wo X ich ∈ F ?

Einfacher ausgedrückt: Gibt es einen Vektor, der nicht als Tupel seiner Skalare geschrieben werden kann?

Diese Antwort auf diese Frage mag brutal offensichtlich sein (vielleicht so offensichtlich, dass es wie die Frage ist, ob wir eine Zahl in Bezug auf eine Zahl schreiben können), in diesem Fall entschuldige ich mich, oder es kann eine gültige Frage sein.

Vielleicht ist der Grund, warum ich das frage, klarer, weil ich versuche, Vektoren in metrischen oder topologischen Räumen zu definieren, dh wie würde sich diese Definition eines Vektors in höheren mathematischen Räumen ändern. Daran versuche ich zu denken. Mir ist klar, dass ich eigentlich nur nach der Definition von Vektoren als Tupel von Skalaren in Vektorräumen gefragt habe, aber ich habe gerade diesen letzten Teil hier hinzugefügt, damit Sie sehen können, woher ich komme.

Was macht F N gemein zu dir ?
Das ist wahr. Sie müssen zuerst eine Basis für Ihren Vektorraum angeben. Danach können Sie Ihren Vektor in Bezug auf die Basis schreiben und die Koeffizienten in diesem Ausdruck sind die Einträge des Vektors, den Sie aufrufen T .
@CaptainLama Jeder abstrakte Vektorraum
Beachten Sie, dass dies das bedeutet u kann auf verschiedene Weise als Vektor dargestellt werden. Die Darstellung hängt von der Wahl der Basis ab.
Ein Vektorraum kann unendliche Dimensionen haben. Es kann immer noch eine Basis haben, aber es kann eine Linearkombination von unendlich vielen Basisvektoren erfordern, um einen beliebigen Vektor zu erzeugen u in diesem Vektorraum. Ist die (unendlich lange) Koeffizientenliste dieser Basisvektoren ein " N -tuple" nach Ihrer Bedeutung dieses Begriffs? (Ich werde mich nicht beschweren, wenn die Antwort "Ja" ist, aber wenn es "Nein" ist, kann es andere Konsequenzen geben.)
@DavidK Ja. Ich würde sagen, dass dies basierend auf dem, was ich über Tupel weiß, ein Tupel darstellen würde. Ich bin jedoch neugierig, was sind die Konsequenzen, wenn ich "Nein" gesagt hätte, und ist meine Antwort mit Ja überhaupt richtig?
Ich finde "ja" gut. Ich wollte nur nachsehen. Wenn Sie wirklich wollten, dass das Tupel nur eine endliche Anzahl von Mitgliedern hat, hätte es meiner Meinung nach nur für endlich dimensionale Vektorräume funktioniert (was immer noch viele Vektorräume sind).

Antworten (2)

Die Sache ist per Definition F N ist die Menge von N -uple ( X 1 , … , X N ) mit X ich ∈ F . Das ist die eigentliche Definition des Symbols F N . Und in der Tat F N ist ein Vektorraum vorbei F .

Beginnen Sie nun mit einem "abstrakten" Vektorraum v , dann willst du das beweisen v ist isomorph zu F N für einige N (das ist die Dimension von v ).

Der Satz ist dann, dass jeder endlichdimensionale Vektorraum eine Basis hat : eine Familie (hier endlich) ( e 1 , … , e N ) von Vektoren, so dass jeder Vektor v kann geschrieben werden v = ∑ ich X ich e ich auf einzigartige Weise. Dies definiert eine Bijektion v → F N was leicht als Vektorraumisomorphismus zu erkennen ist.

Beachten Sie, dass dies nicht kanonisch ist: Die Wahl einer anderen Basis ergibt einen anderen Isomorphismus v → F N .

Beachten Sie auch, dass Sie für einige Räume (solche mit unendlicher Dimension) eine unendliche Anzahl von Koordinaten berücksichtigen müssen (aber dies geht wahrscheinlich über Ihre Bedenken hinaus).

Das ist leicht irreführend: Während jeder Vektorraum eine Basis hat, ist diese Basis möglicherweise nicht endlich! Betrachten Sie zB die R -Vektorraum v aller Funktionen F : R → R . Es gibt keine Möglichkeit, ein Element von anzuzeigen v als endliches Tupel von Realzahlen.
Deshalb habe ich "hier endlich" geschrieben. Ich habe bearbeitet, um auf diesem Punkt zu bestehen.

Lassen v sei ein Vektorraum der Dimension N über F . Lassen { v 1 , ⋯ , v N } Grundlage sein für v . Lassen u ∈ v . Seit der v 's bilden eine Basis, es gibt Skalare A 1 , ⋯ , A N ∈ F so dass u = A 1 v 1 + ⋯ + A N v N . Lassen T seien die Tupel ( A 1 , ⋯ , A N ) Dann T ist eine Darstellung von u als Tupel.

Beachten Sie, dass Sie für diesen Beweis die Existenz von Basen akzeptieren müssen. Im Fall eines endlichdimensionalen Vektorraums ist es nicht schwierig zu beweisen, dass Basen existieren. Für unendlich dimensionale Vektorräume können Sie mit Zorns Lemma beweisen, dass Basen existieren.
Gibt es einen Vektor, der nicht als Tupel von Skalaren geschrieben werden kann?
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