Gibt es positive ganze Zahlen a,b,c,da,b,c,da, b, c, d, sodass sowohl (a,b,c)(a,b,c)(a, b, c) als auch ( b,c,d)(b,c,d)(b, c, d) sind pythagoräische Tripel?

Question

Gibt es positive ganze Zahlen a,b,c,da,b,c,da, b, c, d, sodass sowohl (a,b,c)(a,b,c)(a, b, c) als auch ( b,c,d)(b,c,d)(b, c, d) sind pythagoräische Tripel?

Mathematik
pythagoräische Tripel
diophantische Gleichungen
Elementarzahlentheorie

Daniel

Das pythagoreische Tripel ist ein Tripel ganzer Zahlen $(a, b, c)$ so dass $a^2+b^2=c^2$ . Gibt es ein pythagoreisches Tripel, nicht nur $a^2+b^2$ , aber auch $b^2+c^2$ ist eine Quadratzahl? Wenn nein, wie kann man das beweisen?

Ich habe versucht, die Nichtexistenz auf folgende Weise zu beweisen: Wenn wahr, würde dies bedeuten, dass es ein Paar ganzer Zahlen gibt, bei denen sowohl die Summe als auch die Differenz ihrer Quadrate eine Quadratzahl ist. Nennen wir diese ganzen Zahlen $a$ Und $b$ Und $a<b$ . Dann gibt es ganze Zahlen $c$ Und $d$ so dass:

\begin{aligned} A^{2} + B^{2} = C^{2} \\ A^{2} - B^{2} = D^{2} \end{aligned}

$\begin{align} &a^2+b^2=c^2 \\ &a^2-b^2=d^2 \end{align}$

Die Multiplikation dieser Gleichungen ergibt:

A^{4} = (C D)^{2} + B^{4}

$\begin{equation} a^4=(cd)^2+b^4 \end{equation}$

Dies ähnelt dem letzten Satz von Fermat für $n=4$ , aber die Verwendung zeigt nur das $cd$ kann keine Quadratzahl sein, nicht dass es keine ganzzahligen Lösungen gibt.

individuell

Es gibt pythagoräische Tripel.

x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2} = z^{2}

$x^2+y^2=a^2+b^2=z^2$ Und es gibt keine. Es hat immer noch Euler bewiesen.

Daniel

@individ könntest du bitte deinen Kommentar präzisieren?

individuell

Deine Gleichung hat keine Lösungen.

Daniel

@individ Und wie kann man beweisen, dass es keine Lösungen gibt?

Xena

Ich versuche, dies herauszufinden, und wenn ein solches

d

$d$ existiert, muss es befriedigen

2 b^{2} = (a + d) (d - a)

$2b^2=(a+d)(d-a)$ . Ich weiß nicht ... Vielleicht gibt dir das ein paar Ideen? Auch

a

$a$ Und

d

$d$ müssen die gleiche Parität haben. Und

2 (a + d) (a - d)

$2(a+d)(a-d)$ muss die Form haben

4 k

$4k$ .

Lukian

Beweis .

Martin Schleziak

Siehe auch: math.stackexchange.com/questions/1146460/…

Antworten (2)

Gibt es positive ganze Zahlen a,b,c,da,b,c,da, b, c, d, sodass sowohl (a,b,c)(a,b,c)(a, b, c) als auch ( b,c,d)(b,c,d)(b, c, d) sind pythagoräische Tripel?

Es gibt pythagoräische Tripel. $x^2+y^2=a^2+b^2=z^2$ Und es gibt keine. Es hat immer noch Euler bewiesen.
@individ Und wie kann man beweisen, dass es keine Lösungen gibt?
Ich versuche, dies herauszufinden, und wenn ein solches $d$ existiert, muss es befriedigen $2b^2=(a+d)(d-a)$ . Ich weiß nicht ... Vielleicht gibt dir das ein paar Ideen? Auch $a$ Und $d$ müssen die gleiche Parität haben. Und $2(a+d)(a-d)$ muss die Form haben $4k$ .

Will Jagy · Answer 1

Dies sind Tripel mit $x^2 + y^2 = 2 z^2,$ alles positiv u $\gcd(x,y) = 1.$

February 14, 2015   x^2 + y^2 = 2 z^2
           x           y           z
           1           1           1
           1           7           5
           1          41          29
           1         239         169
           7          17          13
           7          23          17
           7         103          73
           7         137          97
          17          31          25
          17          73          53
          17         193         137
          17         431         305
          23          47          37
          23          89          65
          23         289         205
          31          49          41
          31         151         109
          31         311         221
          41         113          85
          41         119          89
          47          79          65
          47         217         157
          47         497         353
          49          71          61
          49         257         185
          49         457         325
          71          97          85
          71         391         281
          73         161         125
          73         263         193
          79         119         101
          79         401         289
          89         191         149
          89         329         241
          97         127         113
         103         271         205
         103         313         233
         113         217         173
         113         463         337
         119         167         145
         119         233         185
         119         479         349
         127         161         145
         137         367         277
         137         409         305
         151         343         265
         161         199         181
         161         281         229
         167         223         197
         191         329         269
         193         497         377
         199         241         221
         217         353         293
         217         487         377
         223         287         257
         233         383         317
         241         287         265
         281         433         365
         287         337         313
         287         359         325
         337         391         365
         359         439         401
         391         449         421
jagy@phobeusjunior

Ich werde das Notizbuch finden, in dem ich die Scratch-Arbeit gemacht habe. Aber ich bin mir ziemlich sicher, dass alle diese Fälle aus demselben Grund versagen, nämlich dem $z^2 - x^2$ ist kein perfektes Quadrat. Bearbeiten: Ich habe gerade nachgesehen, dass alle diese Fälle für diesen Fall fehlschlagen.

Randall · Answer 2

Für die $(a,b,c)$ Und $(b,c,d)$ Pythagoräische Tripel zur Arbeit stellen wir fest:

$a,b,c$ ist primitiv (ansonsten durch ggT reduzieren)
ebenfalls $b,c,d$ ist primitiv
Verwenden der traditionellen Lösung für ein Tripel: $2mn$ ; $m^2-n^2$ ; $m^2+n^2$ , Dann $c$ ist ungerade
Wenn $c$ ist seltsam in der $(b,c,d)$ dann dreifach $b$ muss gerade sein = $2mn$
Dann haben wir ( $2mn$ , $m^2+n^2$ , $d$ ) für das zweite Tripel
Dann $(2mn)^2$ + $(m^2+n^2)^2$ = $m^4 + 6m^2n^2 + n^4 = d^2$ die ein $\square$

Aber HC Pocklington vom St. John's College bewies 1913, dass 6 für den Koeffizienten von $x^2y^2$ in der allgemeinen Gleichung $x^4 + dx^2y^2+y^4 = z^2$ ist durch Primzahlmoduli unmöglich, in diesem Fall 6 != 7 mod 8 Siehe HC Pocklington. "Einige diophantische Unmöglichkeiten" Proc. Kamb. Phil. Soc, 17: S. 110 – 118, 1914.

@DanielWainfleet Es bedeutet $6!=720=8\cdot90$ kann nicht die Form haben $8n+7$ .

Gibt es positive ganze Zahlen a,b,c,da,b,c,da, b, c, d, sodass sowohl (a,b,c)(a,b,c)(a, b, c) als auch ( b,c,d)(b,c,d)(b, c, d) sind pythagoräische Tripel?

Daniel

individuell

Daniel

individuell

Daniel

Xena

Lukian

Martin Schleziak

Antworten (2)

Will Jagy

Axoren

Randall

Daniel Wainfleet

Antonio DJC

Meta-pythagoräisches Tripel

Tripel positiver ganzer Zahlen a,b,ca,b,ca,b,c mit rationalem c−ac+b−−−√,c+ac−b−−−√c−ac+b,c+ac−b\ sqrt{\frac{ca}{c+b}},\sqrt{\frac{c+a}{cb}}

Der Beweis der Unendlichkeit der pythagoreischen Tripel (x,x+1,z)(x,x+1,z)(x,x+1,z)

Wie kann man in den „Baum der primitiven pythagoreischen Tripel“ absteigen?

Suchen Sie nach Verweisen auf pythagoreische dreifache Teilmengen

Gibt es eine perfekte Quadratzahl n, deren Euler-Totient-Wert ebenfalls ein perfektes Quadrat ist?

Beweis, dass das Produkt primitiver pythagoreischer Hypotenusen auch eine primitive pythagoreische Hypotenuse ist

Zufall in der diophantischen Lösungsparametrisierung für pythagoreische Tripel usw

Beweis mit primitiven pythagoreischen Tripeln

Finde genau 333 passende primitive pythagoreische Tripel für eine gegebene Hypotenuse