Gleichungen, die die Impedanz eines verallgemeinerten Elements mit konstanter Phase im Zeitbereich regeln?

Ich entschuldige mich im Voraus für die große Textwand, aber ich habe Lust, diese Frage richtig zu stellen, einige Hintergrundinformationen sind angebracht. Ich habe kürzlich an der Modellierung der Impedanz einer Schaltung mit den Mathworks SIMULINK/SIMSCAPE-Bibliotheken gearbeitet - genauer gesagt bin ich daran interessiert, den Impedanzmessblock zu verwenden, um eine In-Silico-Impedanzspektroskopiemessung durchzuführen (ähnlich der Zfit-Funktion, die in der Matlab File Exchange, https://ch.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/19460-zfit , wobei letzterer jegliche Phasenterme vernachlässigt, weshalb ich auch gerne ein Modell mit Simulink bauen würde).

Eines der Elemente in meinem System ist jedoch ein verallgemeinertes Konstantphasenelement (CPE), das durch die folgende Gleichung gekennzeichnet ist (in der Laplace-Domäne, mit$s=j\omega$- entspricht einer Fourier-Transformation):$Z(j\omega) = 1/(j\omega C)^n$, wobei C [F] ein Kapazitätswert und 0 ≤ n ≤ 1 ist. Ich dachte an ein paar verschiedene Möglichkeiten, dies zu implementieren, aber jede hat ein paar Nachteile:

• Verwendung der Zfit-Funktion: sehr einfach zu implementieren, aber es gibt keine Phaseninformationen. Wenn ich dieses Modell erweitern muss (um die Wechselwirkung eines zusätzlichen Körpers einzubeziehen), indem ich eine zusätzliche Wechselstromquelle einbeziehe (die selbst aus drei unabhängigen Stromquellen mit bestimmten Frequenzen besteht), muss ich das überarbeiten Ersatzschaltung mit Norton/Thenevin, um diese Stromquelle zu berücksichtigen. Bei Simscape bedeutet das Ändern der Schaltung einfach das Anschließen eines zusätzlichen Blocks.

• Verwenden des integrierten Impedanzblocks in Simulink: Etwas einfach zu implementieren, erfordert jedoch die Bereitstellung zusätzlicher Blöcke$n,C$als Parameter. Außerdem ist dieser Block einfach ein Vektor von Impedanzwerten, die abhängig von der Frequenz linear interpoliert werden (im Grunde eine ausgefallene Lookup-Tabelle). Außerdem müsste ich den zappeligen Physical Signal / Simulink-Konverter (oder umgekehrt) verwenden, um ihn mit den Simscape-Blöcken zu verbinden.

• Modellieren der Impedanz selbst durch einen "Superblock", der die Simulink-Übertragungsfunktionsblöcke und einige andere Konverter verwendet. Dies ist ein wahrscheinlicher Kandidat, aber es ist viel mehr Arbeit und es ist etwas schwieriger, es in anderen Modellen wiederzuverwenden, die ich vielleicht baue.

Aus diesen Gründen habe ich mich entschieden, das Erstellen benutzerdefinierter Simscape-Elemente mit der Simscape-Sprache ( https://blogs.mathworks.com/simulink/2009/09/25/custom-components-in-physical-models/ ) zu untersuchen haben etwas, das modellübergreifend einstellbar und wiederverwendbar ist. Kurz gesagt, Sie können eine Datei definieren, die die Knoten, Verzweigungen und Parameter Ihres Blocks sowie die Gleichungen enthält, die die Durchgangsvariablen (im Grunde „Flow“-Variablen, wie Strom) und die Quervariablen („Work/Energy“-Variablen) definieren , wie elektrisches Potential).

Für einen idealen Kondensator ist dies einfach genug, da die relevanten Gleichungen bekannt sind:

• $V = V^+ - V^-$(Die Spannung an den beiden Knoten ist die Differenz zwischen den Spannungen in den Eingangs- (+) und Ausgangsknoten (-))
  • $i = C \frac{dV}{dt}$(oder i = C*v.der in Simscape-Sprache)

Für den Fall des CPE ist dies jedoch etwas komplizierter. Als erste Idee dachte ich, dass man die abgeleiteten Eigenschaften höherer Ordnung in der Laplace-Domäne ( http://lpsa.swarthmore.edu/LaplaceZTable/LaplacePropTable.html ) nutzen könnte, um das zu handhaben$(j\omega)^n$Begriff, aber da n eine Bruchzahl ist, glaube ich, dass diese Eigenschaft in diesem Fall nicht verwendet werden kann.

Mein nächster Versuch war, die inverse Laplace-Transformation der Übertragungsfunktion von Grund auf neu zu berechnen. Nach vielen Blättern und etwas Hilfe von WolframAlpha fand ich etwas in der Form:

Abschließend führt mich das zu ein paar Fragen:

• Ist dieser inverse Transformationsansatz wirklich gültig? Oder übersehe ich etwas in Bezug auf die Anfangsbedingungen der Schaltung, indem ich direkt von der Übertragungsfunktion dieses Elements aus beginne?

• Ist diese Formel wirklich eine korrekte inverse Laplace-Transformation?

• Bin ich richtig in der Schlussfolgerung, dass, nachdem die Zeitbereichsantwort gefunden wurde (die inverse Laplace-Transformation des TF), die Gesamtgleichung dann lautet:$Z(j\omega) = V(j\omega)/I(j\omega) \rightarrow V(t) = z(t) * i(t)$? (wobei * eine Faltung bezeichnet)

• Bonus (für diejenigen mit etwas Simscape-Erfahrung): Sind Faltungen überhaupt mit der Simscape-Sprache umsetzbar? (Ich stelle diese Frage auch in den MathWorks-Foren bezüglich der Implementierung einer solchen Sache).

Für diejenigen, die diese ausführliche Frage beantwortet haben, danke ich Ihnen von Herzen, und ich schätze jeden Beitrag, den Sie zu diesen Fragen haben könnten!

BEARBEITEN: Wenn Sie erwägen, die Frage abzulehnen, würde ich mich freuen, wenn Sie einen Grund dafür angeben könnten (unzureichendes Verständnis, verwirrende Frage, nicht das richtige Forum usw.), nur um sicherzustellen, dass meine Frage tatsächlich war für dieses Forum angemessen sind, und um mir zu helfen, sie in Zukunft besser zu formulieren. Da dies die erste Frage war, die ich gepostet habe, bin ich noch relativ neu im SE-System. Danke!