Grenzwert der Folge, Squeeze-Theorem?

Question

Grenzwert der Folge, Squeeze-Theorem?

MatheUndergrad

Ich habe diese Frage, Finden Sie die Grenze der Sequenz

A_{N} := \frac{N^{2001}}{{1.001}^{N}}

$a_n:= \frac{n^{2001}}{1.001^n}$ als

n \to \infty

$n \to \infty$ .

Ich vermute, dass die Grenze ist $0$ aufgrund des Exponentials im Nenner, und nehme auch an, dass ich den Squeeze-Theorem verwenden soll, um dies zu zeigen, aber ich finde es schwierig, zwei Grenzen zu finden, die zur gleichen Grenze tendieren. Oder muss ich ein anderes Theorem verwenden?

Wir haben noch keine Logarithmen verwendet, um Grenzwerte zu lösen, und diese Übung soll mit Theoremen und Regeln wie Squeeze-Theorem, Verhältnistest, Summen-/Produkt-/Quotientenregeln usw. abgeschlossen werden.

Antworten (4)

Grenzwert der Folge, Squeeze-Theorem?

mookid · Answer 1

Sie brauchen nur die obere Schranke, as $a_n\ge 0$ .

Dann kannst du das per Induktion beweisen

\frac{N^{2001}}{{1.001}^{N}} \leq \frac{C}{N}

$\frac{ n^{2001}}{1.001^n} \le \frac Cn$ für eine bestimmte

C

$C$ .

Ich meinte, einen größeren Wert und einen niedrigeren Wert zu finden, die beide zur gleichen Grenze tendieren, so dass a_n nach dem Squeeze-Theorem zur gleichen Grenze tendiert?

Timbuc · Answer 2

Ok, also Verhältnis ist es:

\frac{A_{N + 1}}{A_{N}} = \frac{(N + 1)^{2001}}{{1.001}^{N + 1}} \cdot \frac{{1.001}^{N}}{N^{2001}} = {(1 + \frac{1}{N})}^{2001} \cdot \frac{1}{1.001} \to_{N \to \infty}^{} \frac{1}{1.001} < 1

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{2001}}{1.001^{n+1}}\cdot\frac{1.001^n}{n^{2001}}=\left(1+\frac1n\right)^{2001}\cdot\frac1{1.001}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac1{1.001}<1$

und damit konvergiert die Folge gegen Null.

Benutzer2345215 · Answer 3

Du könntest logarithmieren:

2001 \ln N - N \ln 1.001 = (2001 - \frac{N}{\ln N} \ln 1.001) \ln N

$2001\ln n - n\ln 1.001=\Bigl(2001-\frac n{\ln n}\ln 1.001\Bigr)\ln n$ Das geht an

- \infty

$-\infty$ Weil

\frac{n}{\ln n}

$\dfrac n{\ln n}$ geht zu

\infty

$\infty$ .

Pierre Alvarez · Answer 4

$\ln(a_n)=2001\ln(n)-n\cdot\ln(1.001)=\ln(n)\cdot(2001-\frac{n}{\ln(n)}\cdot1.001)$

die Grenze von $2001-1.001\frac{n}{\ln(n)}$ Ist $-\infty$ Und $\infty \times (-\infty)= - \infty$ also die Grenze von $\ln(a_n)$ Ist $-\infty$

Was ist mit $\ln n$ vor den Klammern, warum können wir es vernachlässigen?
Grenze von $ln(n)$ Ist $\infty$ und die Grenze dessen, was innerhalb der Klammern steht $-\infty$ Die Grenze des Produkts ist also klar $-\infty$

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