Hamiltonoperatoren, Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren, Rekursion

Das Folgende ist eine Einleitung zur Motivation, die übersprungen werden kann; Die Frage wird am Ende gestellt.

Ich habe vor kurzem angefangen, die Operatoren für die Erstellung und Vernichtung zu studieren A ^ † Und A ^ in einem QM-Kurs, an dem ich teilnehme – sie wurden als befriedigend eingeführt

H ^ = A ^ A ^ † γ + ζ ,
für γ , ζ ∈ C . Im Kurs wurde uns zunächst ein bestimmter Hamiltonoperator gegeben, mit dem wir arbeiten konnten (einzelnes Teilchen in einem unendlichen quadratischen Potentialtopf), und wir leiteten Formen dafür ab A ^ † Und A ^ basierend auf dieser exakten Form des Hamiltonoperators.

Mir fiel auf, dass wir den Hamilton-Operator effektiv als ein multivariates Polynom betrachteten C mit den beobachtbaren Operatoren als Variablen, zum Beispiel

H ^ = P ^ 2 2 M + v ^ ( X ^ ) = 1 2 M P ^ 2 + M ω 2 2 X ^ 2 ,
Verwenden Sie dann den Euklidischen Divisionsalgorithmus , um die Tatsache zu nutzen, dass Polynomringe Euklidische Domänen sind, um einen größten gemeinsamen Teiler von zu bilden H ^ Und A ^ † A ^ , Wo
A ^ = M ω 2 ℏ X ^ + ich 1 2 ℏ M ω P ^ .
In diesem Fall ist der größte gemeinsame Teiler γ = ω ℏ mit einem Rest von ζ = ω ℏ 2 .

Meine Frage ist folgende:

Ist dies der Prozess, den Hamilton-Operator als ein „multivariates Operatorpolynom“ des Grades zu betrachten? ≥ 2 in einer euklidischen Domäne, wo die Variablen beobachtbare Operatoren sind, die irgendwie physikalisch signifikant sind?

Insbesondere funktioniert das Finden des größten gemeinsamen Teilers von H ^ Und A ^ A ^ † in dieser Einstellung haben keine etablierte physikalische Bedeutung, wo wir sehen H ^ als Gesamtenergieoperator und A ^ † , A ^ als Schöpfungs- und Vernichtungsoperatoren?

Beachten Sie, dass (wie alle Algorithmen) der euklidische Teilungsalgorithmus eine endliche Rekursion ist, sodass diese Frage etwas allgemeiner als eine Frage zu rekursiven Beziehungen zwischen dem Hamilton-Operator eines Systems und den Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren für dieses System angesehen werden kann.

EDIT: Da der größte gemeinsame Teiler (ggT) ω ℏ und der Rest ω ℏ 2 die Energieeinheiten in dem obigen speziellen Fall haben, vermute ich, dass die GCD in irgendeiner Weise mit der Quantisierung zusammenhängen könnte.

ZWEITE BEARBEITUNG: Als Antwort auf einen Kommentar unten möchte ich klarstellen, dass es völlig in Ordnung ist, einen Begriff eines nicht kommutativen Polynoms oder in diesem Fall eines kommutativen Polynoms mit Lügenklammern zu haben. Dieses Hamiltonsche Polynom wäre also eine solche Struktur X ^ P ^ = P ^ X ^ + [ X ^ , P ^ ] = P ^ X ^ + ich ℏ ist immer noch in Ordnung als Identität. Damit eine solche Struktur jedoch ein euklidischer Bereich ist, müssen wir verlangen, dass die Gesamtpolynome miteinander kommutieren, was in Ordnung ist, da wir jede Nichtkommutativität aufheben können, indem wir die entsprechenden zusätzlichen Terme anfügen (dies bestimmt den Unterraum des euklidischen Bereichs des gesamten Bedienerraums in gewissem Sinne).

EINE ANDERE BEARBEITUNG: Als Antwort auf einen anderen Kommentar unten ist es erwähnenswert, dass multivariate Polynomringe im Allgemeinen nur eindeutige Faktorisierungsdomänen sind, nicht unbedingt euklidische Domänen (wir können multivariate Polynome in eindeutige Faktoren zerlegen, aber es existiert nicht immer eine eindeutige GCD zwischen zwei Elemente). Trotzdem glaube ich, dass es möglich ist, sich auf bestimmte Teilmengen multivariater Polynomringe zu beschränken, um eine euklidische Domäne zu erhalten (sehen Sie sich grob gesagt die durch Faktoren verbundenen Teilmengen an), und ich vermute das A ^ † A ^ Und H ^ in einem solchen Unterraum im Allgemeinen zusammenleben werden.

Gibt es einen Grund für die Ablehnung? Wenn ich etwas klären kann, lassen Sie es mich bitte wissen.
Es gibt eine mächtige böse Macht in diesem Forum, die alles abwertet, was ihr nicht gefällt. Und es mag kaum etwas. Es ist praktisch organisiertes Verbrechen, gegen das wir nichts tun können.
@safesphere Cest la vie – danke für die Hinweise.
Ich denke nicht, dass das, was Sie vorschlagen, viel Sinn macht, aber vielleicht verstehe ich es einfach nicht ganz. Bitte klären Sie Folgendes: Berücksichtigt Ihre Behandlung die Nichtkommutativität von X Und P ? Klingt aus Ihrer Sicht so, X P Und P X sind dasselbe, obwohl sie es in Wirklichkeit nicht sind. PS Ich habe nicht abgelehnt
Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/10804/2451 und Links darin.
@SolenodonParadoxus Die Idee hier ist, dass wir einen hermitischen Hamiltonian bilden, indem wir ihn als einen Polynomoperator betrachten, der sich neben Energie aus anderen physikalisch beobachtbaren Größen zusammensetzt. Das X ^ P ^ = P ^ X ^ + [ P ^ , X ^ ] in diesem Zusammenhang in Ordnung ist, müssen wir nur sicherstellen, dass der Polynom-Hamiltonoperator in diesen Operatoren in geeigneter Weise gebildet wird, damit er hermitesch ist. Das ist alles ein bisschen wie ein Ablenkungsmanöver – ich möchte außerdem das gesamte Standard-QM-Verhalten der beobachtbaren Operatoren als selbstverständlich ansehen H ^ , dann bauen H ^ Und A ^ † A ^ .
@SolenodonParadoxus (Forts.) Ich möchte dann versuchen, das Phänomen der Quantisierung als im Zusammenhang mit / bestimmt durch den Prozess des Auffindens der GCD von zu verstehen H ^ Und A ^ † A ^ , Anzeigen der Teilmenge des Operatorraums wo H ^ Und A ^ † A ^ leben als eine euklidische Domäne, die garantiert, dass wir immer eine Rekursion verwenden können, um eine solche ggT zu finden (Terme höherer Ordnung im Hamilton-Operator erfordern längere Rekursionen, möglicherweise in Bezug auf komplexere Quantisierungen).
Anmerkung: Ich hätte setzen sollen X ^ P ^ = P ^ X ^ + [ X ^ , P ^ ] in meinem Kommentar oben, aber das Wesentliche ist das gleiche.
@AlecRhea ok, und warum ist diese GCD im allgemeinen Fall physikalisch relevant?
@SolenodonParadoxus Darauf bin ich auch neugierig - im allgemeinen Fall von Operatoren über komplexe Hilbert-Räume, wenn wir einen Operator erstellen H ^ als Polynom in einem Haufen hermitescher Komponenten und versuchen Sie, einen ggT mit dem Produkt einiger Operatoren zu finden A ^ † Und A ^ so dass D e G ( A ^ ) = D e G ( A ^ † ) = D e G ( H ^ ) 2 , wir versuchen letztendlich, uns zu "spalten" H ^ um es in einer neuen Eigenbasis zu "diagonalisieren", wo seine Wirkung auf den zugrunde liegenden Hilbert-Raum leichter zu verstehen ist. Ich bin mir nicht sicher über die physikalische Bedeutung davon.
Außerdem sind diese Funktionen Polynome in zwei Variablen ( X Und P ), Rechts? Könnten Sie bitte angeben, wie Polynome zweier Variablen den euklidischen Bereich bilden?
@SolenodonParadoxus Das ist ein guter Punkt - multivariate Polynomringe sind im Allgemeinen nur eindeutige Faktorisierungsdomänen, nicht unbedingt euklidische Domänen (wir können multivariate Polynome in eindeutige Faktoren zerlegen, aber zwischen zwei Elementen existiert nicht immer eine eindeutige GCD). Trotzdem glaube ich, dass es möglich ist, sich auf bestimmte Teilmengen multivariater Polynomringe zu beschränken, um eine euklidische Domäne zu erhalten (sehen Sie sich grob gesagt die durch Faktoren verbundenen Teilmengen an), und ich vermute das A ^ † A ^ Und H ^ in einem solchen Unterraum im Allgemeinen zusammenleben werden.
Bitte erläutern Sie ein wenig, wie Sie sich im allgemeinen Fall auf eine solche Teilmenge beschränken werden.
@SolenodonParadoxus Ich habe das heute mit meinem Professor besprochen und wir sind zu dem Schluss gekommen, dass genau dieser Teil des Prozesses eine gewisse Subtilität aufweist, da der obige Ausdruck für H ^ zusammen mit der Anforderung, dass [ A ^ , A ^ † ] = 1 läuft auf eine Lösung eines allgemeinen Hamiltonschen Problems hinaus, das als unlösbar bekannt ist. Ich vermute, dass unsere Fähigkeit oder Unfähigkeit, auf eine solche Teilmenge einzuschränken, und wie sehr unsere Fähigkeit zur Einschränkung versagt, etwas mit dieser Unlösbarkeit zu tun haben wird. Im Allgemeinen sind multivariate Polynomringe keine euklidischen Domänen, da GCDs nicht eindeutig sind.
@SolenodonParadoxus Mein letzter Kommentar ist eigentlich nicht korrekt, Entschuldigung; Multivariate Polynomringe sind keine euklidischen Bereiche, da es nicht immer gemeinsame Faktoren zweier Polynome gibt P Und Q mit D e G ( P ) ≤ D e G ( Q ) . Betrachten Sie zum Beispiel P = X 2 j 5 Und Q = X j 7 , oder zwei variable Polynome mit einem Term und ähnlichen Ungleichungen bei den Exponenten. Wir können daher Teilmengen des polynomialen Rings mit mehreren Variablen betrachten, die so definiert sind, dass sie außerdem einen gemeinsamen Faktor teilen 1 , und wir sollten dann eine Reihe von Unterräumen der euklidischen Domäne haben.
@AlecRhea ja, das war genau mein Punkt. Deshalb halte ich Ihren Vorschlag für physikalisch leider wenig sinnvoll. Aber es war eine lustige Gedankenübung.

Antworten (1)

Ihre Frage hängt tatsächlich eng mit einer Faktorisierungseigenschaft einiger ODEs 2. Ordnung zusammen. Dies wurde in der Dissertation von TE Hull diskutiert und zusammen mit L. Infeld als "Infeld, L., and TE Hull. The factorization method. Reviews of modern Physics 23.1 (1951): 21" veröffentlicht.

Dieser Faktorisierungsansatz ist eng mit der supersymmetrischen Quantenmechanik verwandt (siehe Cooper, Fred, Avinash Khare und Uday Sukhatme. „Supersymmetry and Quantenmechanik.“ Physics Reports 251.5-6 (1995): 267-385.)

Angenommen, wir haben einen Hamiltonoperator H ^ − wofür wir bereits die Grundzustandslösung kennen | ψ 0 ⟩ und die entsprechende Grundzustandsenergie E 0 , dh wir wissen (in der X Vertretung) das ψ 0 ( X ) ist eine Lösung für

H ^ ψ ( X ) = ( − ℏ 2 2 M D 2 D X 2 + v − ( X ) ) ψ 0 ( X ) = 0 , v − ( X ) = v ( X ) − E 0

Dann kann man zeigen, dass Hamiltonian in der Form umgeschrieben werden kann

H ^ − = ℏ 2 2 M ( D 2 D X 2 + ψ 0 ″ ( X ) ψ 0 ( X ) ) = A ^ † A ^ ,
Wo
A ^ = ℏ 2 M ( D D X − ψ 0 ' ( X ) ψ 0 ( X ) ) , A ^ † = ℏ 2 M ( − D D X − ψ 0 ' ( X ) ψ 0 ( X ) )
und mit A ^ Und A ^ † befriedigend
[ A ^ , A ^ † ] = 2 ℏ 2 M W ' ( X ) , W ( X ) = − ℏ 2 M ( ψ 0 ' ( X ) ψ 0 ( X ) ) .
Wo W ( X ) ist das Superpotential für das Problem.

Die (Super-)Symmetrie kommt ins Spiel, indem man das feststellt

A ^ A ^ † ≡ H ^ + = − ℏ 2 2 M D 2 D X 2 + v + ( X ) , v + ( X ) = − v − ( X ) + 2 W 2 ( X ) , v ± ( X ) = W 2 ( X ) ± ℏ 2 M W ' ( X )
v ± sind als supersymmetrische Partner bekannt und unterstützen die gleichen Energieeigenwerte E N − = E N + außer dass die niedrigste Energie E 0 − , die kein Gegenstück in hat v + ( X ) .

Wenn ψ N − ( X ) ist eine Eigenfunktion von H ^ − mit Eigenwert E N − , Dann A ^ ψ N − ( X ) ist eine Eigenfunktion von H ^ + mit gleichem Eigenwert.

Die einfachste Anwendung davon ist auf den unendlichen Brunnen, mit E 0 = ℏ 2 π 2 2 M A 2 Und ψ N ( X ) = 2 A Sünde ⁡ ( ( N + 1 ) π X A ) . Für das Potential findet man die Energien und Wellenfunktionen des Grund- und angeregten Zustands v + ( X ) = ℏ 2 π 2 2 M A 2 ( 2 Sünde 2 ⁡ ( π X A ) − 1 ) .

Hamiltonoperatoren, Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren, Rekursion
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