Hilfe bei der Preisgleichung

Die Preisgleichung beschreibt mathematisch die Entwicklung einer Population von Einheiten von einer Generation zur nächsten.

w ¯ Δ z ¯ = C Ö v ( w ich , z ich ) + E ( w ich Δ z ich )

Ich würde gerne wissen, wie man die Gleichung tatsächlich auf einige Daten anwendet. Vielleicht würde ein einfacher Online-Leitfaden für die Preisgleichung helfen. Es sollte einfach die Berechnung der Preisgleichung anhand von Zahlen aus einer Beispielpopulation zeigen. Ich möchte zum Beispiel sehen, wie die Preisgleichung auf das folgende Szenario angewendet wird:

Eine Bevölkerung, P , von 5 Individuen reproduziert, um eine Population zu produzieren P ' .

Der Eigenschaftswert der ich t h Individuum ist z ich wo z 1 , z 2 und z 3 alle = 1 und wo z 4 und z 5 beide = 2 und z ¯ = 1,4.

Absolute Fitness ist w ich für die ich t h individuell wo w 1 , w 2 und w 3 alle = 1, und w 4 und w 5 beide = 5.

Relative Fitness, ω ich , sind ω z = 1 = 0,077 und ω z = 2 = 0,385.

Also die Bevölkerung P ' hat n = 13, mit 3 Personen wo z = 1 und 10 Personen, wo z = 2 und z ¯ ' = 1,769.

Δ z ist der Transmission Bias und ist in diesem Fall gleich 0 (perfekte Übertragung des Trait Scores z )

Der Wert Δ z ¯ = C Ö v ( w , z ) / w ¯ = ....

Hier ist ein R-Skript zum Erstellen der obigen Informationen:

# Define two trait values:
z1 = 1
z2 = 2

# Define two fitness values:
w1 = 1
w2 = 5

# Set number of units possesing each trait in P population:
n1 = 3
n2 = 2

# Create data
df = data.frame(c(rep(z1,n1),rep(z2,n2)),c(rep(w1,n1),rep(w2,n2)))
colnames(df) = c("z","w")

df$omega = df$w / sum(df$w)

n_P = length(df$z)
    n_O = sum(df$w)
z_P_bar = mean(df$z)
    z_O_bar = sum(df$w*df$z) / sum(df$w)
omega_z1 = mean(df$omega[df$z==z1])
omega_z2 = mean(df$omega[df$z==z2])

# Parental population size:
n_P
# Offspring population size:
n_O
# Parental mean trait:
z_P_bar
# Offspring mean trait:
z_O_bar
# Realtive fitnesses:
omega_z1
omega_z2

Antworten (2)

Hier ist ein einfaches Beispiel mit Ihren Daten, in dem beide Terme der Preisgleichung benötigt werden, da der Wert des Zeichens für z 2 Veränderungen in der zweiten Generation. Ich habe deinen Änderungsvorschlag verwendet z 2 ' = ( 9 ⋅ 2 + 1 ⋅ 3 ) / 10 = 2.1 .

Die Price-Gleichung oder das Theorem lautet:

( 1 ) w ⋅ Δ z = cov ( z ich , w ich ) + E ( w ich Δ z ich )

Während die Idee hier nur darin besteht, eine glaubwürdige Berechnung unter Verwendung beider Terme auf der rechten Seite der Gleichung zu geben, und während die Intuition hinter der Gleichung im Wesentlichen mathematisch ist (oder ist sie es? 1 ), Steven Franks' Artikel, 'George Price's Contribution to Evolutionary Genetics', J. Theor. biol. 175 (1995), 373-88, ist eine gute Einführung. Seine Charakterisierung der rechten Seite ist vielleicht die beste, die man machen kann:

„Die beiden Terme können als Veränderungen aufgrund von Selektion bzw. Übertragung betrachtet werden. Die Kovarianz zwischen Fitness und Charakterwert gibt die Veränderung des Charakters an, die durch den unterschiedlichen Fortpflanzungserfolg verursacht wird. Der Erwartungsterm ist ein fitnessgewichtetes Maß für die Veränderung des Charakters Werte zwischen Vorfahren und Nachkommen. Die vollständige Gleichung beschreibt sowohl selektive Veränderungen innerhalb einer Generation als auch die Reaktion auf Selektion..." p. 376.

Wir arbeiten mit Bezug auf die folgenden Daten und werden im Folgenden Variablen definieren.

n ich 3 2 z ich 1 2 w ich 1 5 n ich ' 3 10 z ich ' 1 2.1

Alle zitierten WK sind auf der Wiki-Seite zur Preisgleichung :

(1) Wir können schreiben cov ( w ich , z ich ) wie E ( w ich z ich ) − w z . WK Gl. (7).

Ausdrücklich:

Cov ( w ich , z ich ) = E ( w ich z ich ) − w z = w 1 z 1 n 1 + w 2 z 2 n 2 n 1 + n 2 − w z

= 1 ⋅ 1 ⋅ 3 + 5 ⋅ 2 ⋅ 2 3 + 2 − ( 2.6 ) ( 1.4 ) = 23 5 − ( 2.6 ) ( 1.4 ) = 0,96

(2) Wir können schreiben E ( w ich Δ z ich ) = E ( w ich z ich ' ) − E ( w ich z ich ) . WK Gl. (8).

Jetzt E ( w ich z ich ' ) = 1 n ∑ w ich z ich ' n ich WK Gl. (9a).

= 1 2 + 3 ( 1 ⋅ 1 ⋅ 3 + 5 ⋅ ( 2.1 ) ⋅ 2 ) = 24 / 5.

E ( w ich z ich ) = 23 / 5 von (1) oben.

So E ( w ich z ich ' ) − E ( w ich z ich ) = 24 5 − 23 5 = 1 / 5

(3) Endlich haben wir Δ z = z ' − z = 2.1 ( 10 ) + 3 ( 1 ) 13 − 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 5 = 29 65

und w = 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 5 3 + 2 = 13 5 = 2.6

So

w Δ z = ( 2.6 ) 29 65 = 1.16

= cov ( z ich , w ich ) + E ( w ich Δ z ich ) = 0,96 + .2 = 1.16

n ich ist die Anzahl der Elemente in der Gruppe ich .

n ich ' ist das gleiche für die Tochtergeneration.

z ich ist der Wert eines Zeichens für eine Gruppe ich .

z ich ' gilt auch für Nachkommen von z ich .

w ich ist ein Fitnessgewicht, oft ist die Anzahl der Nachkommen ein Element z ich werde haben.

w ist die durchschnittliche Fitness der Elterngeneration.

z ist der Durchschnittswert von z für die Elterngeneration;

z ' ist der Durchschnitt von z für die Tochtergeneration.

z 2 ' − z 2 (zum Beispiel) ist der Durchschnittswert von z 2 in der zweiten Tochtergeneration abzüglich des Durchschnitts von z 2 in der Elterngeneration.

1 Diese Seite fasst einige kritische Diskussionen über die Preisgleichung zusammen. Ich habe es noch nicht durchgearbeitet, aber es spricht einige anhaltende Zweifel an, die ich darüber habe, was diese Gleichung bedeutet. Wärmstens empfohlen.

Danke - ich habe das mit meinem R-Skript ausgearbeitet und die gleiche Antwort bekommen! Ich weiß, dass es nicht in der ursprünglichen Frage stand, aber könnten Sie helfen, den zweiten Begriff auf der rechten Seite zu erklären ( E ( w ich Δ z ich ) ), die die Übertragungsabweichung zeigt. Vielleicht, wenn ich sagte, dass einer der z =2 Eltern haben 4 Nachkommen wo z =2 und eins wo z =3, die andere z =2 Elternteil hat 5 Nachkommen von z =2.
Dieses Beispiel liefert nur die angeforderte Berechnung, aber es gibt keine funktionale Beziehung zwischen dem Merkmal z und der Fitness w. Ein aufschlussreicheres Beispiel wäre die Anmerkung von Wiki zu „Altruismus“ auf der verlinkten Seite.

Dies ist eine schöne numerische Anleitung und Erklärung, siehe diese Webseite .

Wie gewünscht habe ich oben eine Lösung für den speziellen Fall skizziert.

Eine schönere Methode für Berechnungen besteht darin, die Preisgleichung wie folgt umzuschreiben:

Δ z = C Ö v ( w ich / w ¯ , z ich ) + E ( w ich / w ¯ , Δ z ich )

Lassen Sie uns also einige wichtige Begriffe herausarbeiten.

Im aktuellen Bevölkerungsdurchschnitt für z , der durchschnittliche Merkmalswert in der zweiten Generation z ' und die durchschnittliche relative Fitness der Eltern w ¯ sind:

z ¯ = 1.4

z ' = 1.769

w ¯ = 0,2002

Also setzen wir eine rohe Gewalt ein Δ z durch tun 1.769 − 1.4 = 0,369 . Wir werden dies jedoch auch anhand der Preisgleichung zeigen (beachten Sie für Beispieldaten, dass die Korrektur ist n − 1 nicht n Wie nachfolgend dargestellt).

C Ö v ( x , j ) = ( ( x 1 − x ¯ ) ∗ ( j 2 − j ¯ ) + ( x 2 − x ¯ ) ∗ ( j 1 − j ¯ ) + . . . ( x n − x ¯ ) ∗ ( j n − j ¯ ) ) / n

Mit den bereitgestellten Daten können wir sagen:

C Ö v ( w ich / w ¯ , z ich ) = ( ( 3 ∗ ( 0,077 − 0,2002 ) ∗ ( 1 − 1.769 ) ) + ( 2 ∗ ( 0,385 − 0,2002 ) ∗ ( 2 − 1.769 ) ) ) / 5 = 0,07392

Dies ist eine Pro-Kopf-Änderung. 0,07392 ∗ 5 = 0,3696 (Rundungsfehler).

Erwartung

Das OP identifiziert also eine Situation, in der Übertragungseffekte ungleich Null sind. Betrachten wir einfach, dass die Mutation, die z = 2 verursacht, eine super-synergistische ist und bewirkt, dass ihre Nachkommen z = 4 sind. Der Erwartungsterm lautet in diesem Fall:

E ( w ich / w ¯ , Δ z ich ) = ( ( w 4 / w ¯ ) ∗ ( z 4 ' − z 4 ) + ( w 5 / w ¯ ) ∗ ( z 5 ' − z 5 ) ) / 5

Ich habe die ersten 3 Personen ignoriert, da der Übertragungseffekt ihre Terme zu 0 (1-1=0) macht.

Danke für das Teilen von @Sanalphatau. Anstatt eine reine Link-Antwort zu geben, bitten wir die Community-Mitglieder normalerweise, eine kurze Zusammenfassung oder einen Auszug der wichtigsten Punkte aus dem verlinkten Material bereitzustellen (siehe biology.stackexchange.com/help/referencing ). Wenn Ihr Link aus irgendeinem Grund in Zukunft unterbrochen wird, wäre diese Antwort ohne zusätzliche Informationen nutzlos.
Danke, ich werde es mir gleich ansehen (@DanielStandage hat einen guten Punkt angesprochen, vielleicht möchten Sie die Antwort näher erläutern). Ich habe die Frage auch so bearbeitet, dass ein größerer Versuch unternommen wird, vollständigere Antworten zu erhalten.
Entschuldigung, nicht sehr gut mit den Richtlinien vertraut. Ich werde meine Antwort in den kommenden ein oder zwei Tagen durchlesen und aktualisieren (also eher eigenständig).
Danke @Sanalphatau - ich freue mich darauf. Wenn Sie können, wäre es gut, wenn Sie mir helfen könnten, das obige Problem zu lösen. Ich denke, das würde mir helfen, mich damit zurechtzufinden. Meine Hauptverwirrung besteht darin, zu wissen, welche Zahlen wo verwendet werden sollen
Der erste Teil Ihrer Berechnung stimmt mit Teil (1) meiner obigen Antwort überein (dividieren Sie cov durch w = 2,6). Ihre Berechnung funktioniert aber ich denke per Definition w ¯ = ( 1 / [ n 1 + n 2 ] ) ( w 1 n 1 + w 2 n 2 ) . Wenn Sie den zweiten Teil beenden und die beiden Seiten gleich zeigen, würde ich positiv stimmen. OP fügte den zweiten Teil hinzu, nachdem er den ersten Teil bekommen hatte.
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