Hilfe bei der Summe unendlicher Reihen, stecke im Problem fest

Question

Hilfe bei der Summe unendlicher Reihen, stecke im Problem fest

Summe
Mathematik
Folgen-und-Serien
Konvergenz-Divergenz

Spät347

Die Reihe im Problem ist wie folgt, und wir möchten sehen, ob die Reihe konvergiert und was die Summe unendlicher Reihen ist:

\sum_{N = 1}^{\infty} \frac{2^{N + 1} + 1}{3^{N}}

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+1}+1}{3^n}$

Es ist ein Hausaufgabenproblem, aber ich habe meinen Lehrer schon in der Schule danach gefragt und er hat mir nicht wirklich geholfen.

Die früheren Probleme, die wir hatten, waren einfacher als dieses, weil ich das gemeinsame Verhältnis für diese unendliche Reihe nicht finden kann (unendliche geometrische Reihen sollten ein gemeinsames Verhältnis haben, und wenn Sie es wissen, können Sie feststellen, ob es Konvergenz gibt).

Ich habe nach dem Unterricht online gelesen, dass ich den Grenzwert der Folge von Partialsummen finden soll. Diese Grenze, falls sie existiert und eine reelle Zahl ist, sollte der Wert der Summe der unendlichen Reihe sein.

Es ist konzeptionell sinnvoll, wenn Sie einen großen Wert von k für eine endliche Reihe haben $S_{k}$ , wenn k größer wird, wird die endliche Summe immer mehr wie die Summe unendlicher Reihen.

Also wenn ich Teilsummen in einer Folge habe $S_{1}, S_{2}, S_{3}...S_{k}$ Je größer das k ist, desto besser repräsentiert es unendliche Reihen, vorausgesetzt, es konvergiert überhaupt gegen irgendetwas.

Ich habe es geschafft, einige große Werte von n in Wolfram Alpha zu setzen, und die richtige Antwort scheint zu sein, dass die unendliche Reihe konvergiert und die Summe der unendlichen Reihen 4,5 ist

Aber ich habe keine solide Idee, wie ich die explizite Formel für die Folge von Partialsummen für diese bestimmte unendliche Reihe finden könnte. Und ich habe keine besonders guten Ideen, wie ich beweisen könnte, dass die Summe unendlicher Reihen in diesem Fall 4,5 sein sollte ...

Antworten (3)

Hilfe bei der Summe unendlicher Reihen, stecke im Problem fest

Jose Carlos Santos · Answer 1

Beachten Sie, dass

\sum_{N = 1}^{\infty} \frac{2^{N + 1} + 1}{3^{N}} = 2 \sum_{N = 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{N} + \sum_{N = 1}^{\infty} {(\frac{1}{3})}^{N} .

$\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{n+1}+1}{3^n}=2\sum_{n=1}^\infty\left(\frac23\right)^n+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac13\right)^n.$ Kannst du es von hier nehmen?

Können Sie erklären, woher Sie die Idee haben, die Reihe so aufzuteilen, ich bin nicht sehr gut in den Berechnungsregeln für Summen (Sigma) ... Tatsächlich habe ich mich letzte Woche erst wirklich mit unendlichen Reihen befasst. Ich meine, gibt es einige algebraische Formeln für die Manipulation solcher Summen?
@ Late347 Ja: wenn beide Serien $\sum_{n=1}^\infty a_n$ Und $\sum_{n=1}^\infty b_n$ konvergieren, dann die Reihe $\sum_{n=1}^\infty(a_n+b_n)$ konvergiert ebenfalls und ihre Summe ist die Summe der beiden ursprünglichen Reihen.

Benutzer · Answer 2

Sie können die Summe teilen und verwenden

\sum_{N = 1}^{\infty} R^{N} = \frac{R}{1 - R}

$\sum_{n=1}^{\infty} r^n=\frac{r}{1-r}$

Xander Henderson · Answer 3

Nach 20 Jahren muss ich die Identität immer noch neu herleiten

\begin{matrix} (1) & \sum_{N = 1}^{\infty} a^{N} = \frac{a}{1 - a} \end{matrix}

$\sum_{n=1}^{\infty} \alpha^n = \frac{\alpha}{1-\alpha} \tag{1}$ wann immer ich es brauche. Da es nicht so schwierig ist, sollten wir das vielleicht zuerst tun.

Nehme an, dass $|\alpha| < 1$ , und lass

S_{k} := \sum_{N = 1}^{k} a^{k} = a + a^{2} + \dots + a^{k}

$S_k := \sum_{n=1}^{k} \alpha^k = \alpha + \alpha^2 + \dotsb + \alpha^{k}$ sei der

k

$k$ -te Teilsumme. Dann

a S_{k} = \sum_{N = 1}^{k} a^{k + 1} = a^{2} + a^{3} + \dots + a^{k + 1} .

$\alpha S_k = \sum_{n=1}^{k} \alpha^{k+1} = \alpha^2 + \alpha^3 + \dotsb + \alpha^{k+1}.$ Durch Subtrahieren erhalten wir

\begin{aligned} (1 - a) S_{k} & = S_{k} - a S_{k} \\ = (a + a^{2} + \dots + a^{k}) - (a^{2} + a^{3} + \dots + a^{k + 1}) \\ = a + (a^{2} - a^{2}) + (a^{3} - a^{3}) + \dots + (a^{k} - a^{k}) - a^{k + 1} \\ = a - a^{k + 1} . \end{aligned}

$\begin{align} (1-\alpha) S_k &= S_k - \alpha S_k \\ &= \left( \alpha + \alpha^2 + \dotsb + \alpha^{k} \right) - \left( \alpha^2 + \alpha^3 + \dotsb + \alpha^{k+1} \right) \\ &= \alpha + \left( \alpha^2 - \alpha^2\right) + \left( \alpha^3 - \alpha^3\right) + \dotsb + \left(\alpha^k - \alpha^k\right) - \alpha^{k+1} \\ &= \alpha - \alpha^{k+1}. \end{align}$ Auflösen für

S_{k}

$S_k$ , wir bekommen

S_{k} = \frac{a - a^{k + 1}}{1 - a} .

$S_k = \frac{\alpha - \alpha^{k+1}}{1-\alpha}.$ Seit

| α | < 1

$|\alpha| < 1$ , es folgt dem

lim_{k \to \infty} α^{k + 1} = 0

$\lim_{k\to\infty} \alpha^{k+1} = 0$ , und so

\sum_{N = 1}^{\infty} a^{N} := lim_{k \to \infty} \sum_{N = 1}^{k} a^{N} = lim_{k \to \infty} \frac{a - a^{k + 1}}{1 - a} = \frac{a}{1 - a} .

$\sum_{n=1}^{\infty} \alpha^n := \lim_{k\to \infty} \sum_{n=1}^{k} \alpha^n = \lim_{k\to\infty} \frac{\alpha - \alpha^{k+1}}{1-\alpha} = \frac{\alpha}{1-\alpha}.$ Aber genau das ist die Identität bei (1). Hurra!

Nun, wie verwenden wir das hier?

Beachten Sie das

\begin{matrix} (2) & \frac{2^{N + 1} + 1}{3^{N}} = \frac{2^{N + 1}}{3^{N}} + \frac{1}{3^{N}} = 2 {(\frac{2}{3})}^{N} + {(\frac{1}{3})}^{N} . \end{matrix}

$\frac{2^{n+1} + 1}{3^n} = \frac{2^{n+1}}{3^n} + \frac{1}{3^n} = 2 \left( \frac{2}{3} \right)^n + \left( \frac{1}{3} \right)^n. \tag{2}$ Aber Reihen sind linear und spielen daher gut mit Addition und Multiplikation. Konkret, wenn

\sum a_{n}

$\sum a_n$ Und

\sum b_{n}

$\sum b_n$ konvergieren und

C

$C$ irgendeine Konstante ist, dann haben wir

\sum_{N = 1}^{\infty} [A_{N} + B_{N}] = \sum_{N = 1}^{\infty} A_{N} + \sum_{N = 1}^{\infty} B_{N} Und \sum_{N = 1}^{\infty} C A_{N} = C \sum_{N = 1}^{\infty} A_{N} .

$\sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n + b_n \right] = \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \qquad\text{and}\qquad \sum_{n=1}^{\infty} Ca_n = C \sum_{n=1}^{\infty} a_n.$ Dies sind Grundregeln zum "Vereinfachen" von Serien, die für Sie sehr nützlich sein werden. Wenn Sie mit Integration vertraut sind, können Sie genau diese Manipulationen durchführen, wenn Sie die ersetzen

\sum

$\sum$ mit

\int

$\int$ , und die Sequenzen mit Funktionen. Wenn Sie sich mit Integration nicht auskennen, ignorieren Sie diesen Kommentar vorerst, aber behalten Sie ihn vielleicht für später im Hinterkopf.

\begin{aligned} \sum_{N = 1}^{\infty} \frac{2^{N + 1} + 1}{3^{N}} & = \sum_{N = 1}^{\infty} [2 {(\frac{2}{3})}^{N} + {(\frac{1}{3})}^{N}] & (durch Anwendung von (2)) \\ = 2 \sum_{N = 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{N} + \sum_{N = 1}^{\infty} {(\frac{1}{3})}^{N} & (Vereinfachen Sie die Reihe) \\ = 2 \cdot \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}} + \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} & (durch Anwendung von (1)) \\ = 2 \cdot \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} & (dumme, pedantische Arithmetik) \\ = 2 \cdot \frac{2}{3 - 2} + \frac{1}{3 - 1} & (mehr pedantische Arithmetik) \\ = \frac{4}{1} + \frac{1}{2} & (und einige mehr) \\ = \frac{8 + 1}{2} & (fast dort) \\ = \frac{9}{2} . & (Erledigt!) \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+1} + 1}{3^n} &= \sum_{n=1}^{\infty} \left[ 2 \left( \frac{2}{3} \right)^n + \left( \frac{1}{3} \right)^n \right] && (\text{by application of (2)}) \\ &= 2\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2}{3} \right)^n + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right)^n && (\text{simplify the series}) \\ &= 2 \cdot \frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}} + \frac{\frac{1}{3}}{1- \frac{1}{3}} && (\text{by application of (1)}) \\ &= 2 \cdot \frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}\cdot \frac{3}{3} + \frac{\frac{1}{3}}{1- \frac{1}{3}}\cdot \frac{3}{3} && (\text{silly, pedantic arithmetic}) \\ &= 2 \cdot \frac{2}{3-2} + \frac{1}{3-1} && (\text{more pedantic arithmetic}) \\ &= \frac{4}{1} + \frac{1}{2} && (\text{and some more}) \\ &= \frac{8+1}{2} && (\text{almost there}) \\ &= \frac{9}{2}. && (\text{done!}) \end{align}$

ES sieht jetzt sehr verständlich aus, ich habe meine eigene Version hier auf meinem Schreibtisch auf einen Zettel geschrieben. Meine Sorgen und weiteren Fragen beziehen sich eher auf die Rechtfertigung der Aufteilung der Serie in zwei separate Serien ... Muss nicht die Annahme bestehen, dass die kombinierte Originalserie vor der Manipulation zunächst konvergent sein muss? $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+1}+1}{3^n}$
EDIT Ich wollte nur sicher fragen, weil ich keine dummen Fehler mit den unendlichen Reihen machen möchte ... Ich habe immer noch einen schlechten Geschmack im eigenen Mund, nachdem ich das zahlenphile Video über das Summieren divergierender unendlicher Reihen ineinander gesehen habe (das Video ist auf youtube zu finden mit "1+2+3... = -1/12")
Die Rechtfertigung kommt quasi durch die Hintertür herein. Wenn $\sum a_n$ Und $\sum b_n$ sind dann konvergent $\sum (a_n + b_n)$ konvergiert und $\sum (a_n + b_n) = \sum a_n + \sum b_n$ . Im obigen Argument brechen wir eine Reihe der Form auf $\sum (a_n + b_n)$ in zwei verschiedene konvergente Reihen $\sum a_n$ Und $\sum b_n$ , verwenden Sie dann die Tatsache, dass beide konvergieren, um zu zeigen, dass die ursprüngliche Reihe konvergiert.
Wenn Sie andererseits nur wissen müssen, dass die ursprüngliche Reihe konvergiert (und dies könnte Ihr Gewissen bezüglich dieser Annahme beruhigen), könnten Sie dies bemerken $2^{n+1} + 1 < 2^{n+2}$ für alle $n$ , Und $\sum \frac{2^{n+2}}{3^n}$ ist eine konvergente geometrische Reihe. Aber dann $0 < \sum \frac{2^{N + 1} + 1}{3^{N}} \leq \sum \frac{2^{N + 2}}{3^{N}} < \infty,$ $0 < \sum \frac{2^{n+1}+1}{3^n} \le \sum \frac{2^{n+2}}{3^n} < \infty,$ was zeigt, dass die ursprüngliche Reihe tatsächlich konvergiert.

Hilfe bei der Summe unendlicher Reihen, stecke im Problem fest

Spät347

Antworten (3)

Jose Carlos Santos

Spät347

Jose Carlos Santos

Benutzer

Xander Henderson

Spät347

Spät347

Xander Henderson

Xander Henderson

Ist ∑∞n=4(1log(log(n)))log(n)∑n=4∞(1log⁡(log⁡(n)))log⁡(n)\sum_{n=4}^\infty \left(\frac{1}{\log(\log(n))}\right)^{\log(n)} konvergieren?

Ist der Integraltest für die Konvergenz notwendig und ausreichend?

Satz 3.55 in Baby Rudin: Wie macht man den Beweis sinnvoll?

Beweisen Sie diese Identität mit der Triple Product Identity von Jacobi

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k konvergiert absolut und ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k konvergiert Tut dies implizieren, dass ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) konvergiert?

Konvergenz der Reihe ∑un,un=nnxnn!∑un,un=nnxnn!\sum u_n, u_n = \frac{n^nx^n}{n!} für x>0x>0x>0

Wie findet man die Summe dieser unendlichen Reihe: ∑∞k=11(k+1)(k−1)!(1−2k)∑k=1∞1(k+1)(k−1)!(1 −2k)\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k+1)(k-1)!}(1 - \frac{2}{k})

Finden Sie die geschlossene Form einer n-Summe

Beweisen Sie, dass eine konvergente Folge entweder ein Minimum, ein Maximum oder beides hat.

Grenzwertvergleichstest zur Überprüfung der Konvergenz einer unendlichen Reihe