In welches Feld gehören Einträge von Eigenvektoren?

Ja, die Eigenvektoren können auch komplexe Koeffizienten haben. Da zum Beispiel$(1,1)$ein Eigenvektor ist, dann ist er es auch$(i,i)$, da es gleich ist$i(1,1)$.

Generell für eine$n \times n$Matrix$A$mit Einträgen im Feld$k$(zum Beispiel die reellen Zahlen$\mathbb R$oder die komplexen Zahlen$\mathbb C$), die Einträge der Eigenvektoren von$A$wird auf dem Feld liegen$k.$(Definitionsgemäß ist ein Eigenvektor von$A$ist ein$n \times 1$Vektor$v$mit Einträgen in$k$so dass$Av = v.$)

Streng genommen ist es Best Practice, in einem Feld zu arbeiten$k$das ist algebraisch abgeschlossen, dh ein Körper, über dem alle Polynome Wurzeln haben. ($\mathbb C$ist vielleicht das allgegenwärtigste Beispiel für ein algebraisch geschlossenes Feld.) Explizit, wenn$k$algebraisch abgeschlossen ist, dann beliebig$n \times n$Matrix vorbei$k$wird Eigenwerte haben (und daher einige Eigenvektoren). Per Definition bestimmen wir die Eigenwerte von$A$durch Berechnung der Wurzeln des Grades$n$Polynom$p(x) = \det(A - xI),$daher wenn$k$ist dann algebraisch abgeschlossen$p(x) = (x - \lambda_1)^{e_1} \cdots (x - \lambda_k)^{e_k}$für einige ganze Zahlen$e_i \geq 0$so dass$e_1 + \cdots + e_k = n.$(Natürlich die$\lambda_i$sind die gesuchten Eigenwerte.)

Wir behaupten, dass die folgende Matrix (mit Einträgen, die als Elemente von$\mathbb R$) hat keine Eigenwerte.

Zuletzt zu Ihrer letzten Frage, alle symmetrisch$n \times n$Matrix vorbei$k = \mathbb R$hat reelle Eigenwerte. Besser noch, eine solche Matrix ist orthogonal diagonalisierbar. (Wenn Sie neugierig sind, googlen Sie das auf jeden Fall.)

Nachweisen. Betrachten Sie eine symmetrische$n \times n$echte Matrix$A.$Jede reelle Zahl ist komplex (mit$0$Imaginärteil), daher können wir sehen$A$als komplexe Matrix. Folglich existiert ein Eigenwert$\lambda$von$A$und ein komplexer Vektor$v$so dass$Av = \lambda v$(Weil$\mathbb C$ist algebraisch abgeschlossen). Beachten Sie das