Indem Propositionsvariablen durch ihre Negation ersetzt und die Wahrheitswerte aller Props umgedreht werden. Variablen, zeige v(ϕ)=v∗(ϕ∗)v(ϕ)=v∗(ϕ∗)v(\phi)=v^*(\phi^*)

Dies ist Übung 2.28 aus Propositional and Predicate Calculus: A Model of Argument von Derek Goldrei:

Für eine Formel, die aus den Konnektiven aufgebaut ist$\neg,\land,\lor$, lassen$\phi^*$konstruiert werden, indem jede propositionale Variable in ersetzt wird$\phi$durch seine Negation.
(a) Für jede Wahrheitszuweisung$v$, lassen$v^*$sei die Wahrheitszuweisung, die jede Stütze gibt. Variable den entgegengesetzten Wert zu dem gegebenen durch$v$, dh

$$v^*=\begin{cases} T&\ \text{if}\ v(p)=F\\ F&\ \text{if}\ v(p)=T, \end{cases}$$ für alle Requisiten. Variablen $p$. Zeige, dass $v(\phi)=v^*(\phi^*)$.
(b) (i) Verwenden Sie das Ergebnis von Teil (a), um das zu zeigen $\phi$ist eine Tautologie iff $\phi^*$ist eine Tautologie.
$\hspace{25mu}$(ii) Stimmt das $\phi$ist ein Widerspruch gff $\phi^*$ist ein Widerspruch?

Verwandte: Dieselbe Frage ohne (b) .

Teil (a) habe ich bereits durch starke Induktion über die Länge von gemacht$\phi$:

Für jeden$n\in\mathbb{N}$, lassen$P(n)$die Aussage sein.$P(0)$ist eindeutig wahr. Vermuten$P(i)$gilt für$0\le i\le k$. Lassen$\phi$sei eine Längenformel$k+1$, Dann$\phi$ist eine der drei Formen$\neg\theta$,$(\theta\land\psi)$, oder$(\theta\lor\psi)$. Vermuten$\phi$ist von der Form$\neg\theta$.$\theta$Länge hat$k$also durch$P(k)$,$v(\theta)=v^*(\theta^*)$. Nehmen Sie für jede Wahrheitszuordnung an$v$,$v(\neg\theta)=T$, Dann$v(\theta)=F=v^*(\theta^*)$. Seit$v$Und$v^*$sind Wahrheitszuweisungen,$v(\neg\theta)=T=v^*(\neg\theta^*)$Und$P(k+1)$ist wahr; ähnlich wenn$v^*(\neg\theta^*)=T$. Die Fälle für$\phi$der verbleibenden zwei Formen sind ähnlich. Durch starke Induktion für jeden$n\in\mathbb{N}$,$P(n)$ist wahr.

Ich habe Probleme mit Teil (b). Was ich getan habe ist:

Vermuten$\phi$eine Tautologie ist, dann für jede Wahrheitszuweisung$v$,$v(\phi)=T$. Durch eine),$v^*(\phi^*)=T$. Seit$v$ist jede Wahrheitszuweisung,$v^*$ist auch jede Wahrheitszuordnung (für jede bestimmte$v^*$wir können das entsprechende auswählen$v$), So$\phi^*$ist eine Tautologie. Und ebenso für (ii).

Alternativ scheint es wie if$\phi$eine Tautologie ist, muss sie von der Form sein$(\theta\lor\neg\theta)$, also durch (a),$v(\theta)=v^*(\theta^*)$, per Definition der Wahrheitszuweisung,$v(\neg\theta)=v^*(\neg\theta^*)$, und deshalb$v((\theta\lor\neg\theta))=v((\theta^*\lor\neg\theta^*))=v(\phi^*)$. Und ebenso für$\phi$Widerspruch der Form$(\theta\land\neg\theta)$.

Ich bin mir nicht sicher, ob eine der beiden Methoden richtig ist, was übersehe ich hier?