Ionisationsfraktion von Helium im Wechsel, Er dominierte das frühe Universum

Ich werde gebeten, einen Ausdruck für den Ionisationsanteil von Helium in einem Universum zu verifizieren, in dem Helium die baryonische Materie dominiert.

Mir ist der Ionisationsanteil gegeben$X = \frac{n_{He^+}}{n_{He^+}+n_{He}}$mit einer gegebenen Ionisationsenergie$Q_{He}$, und Zahlendichten durch die Formel$n_i=g_i(\frac{m_ik_BT}{2\pi \hbar})^{3/2}\exp(-\frac{m_ic^2}{k_BT})$. Auch das Baryon-Photon-Verhältnis ist in diesem Fall$\eta=\frac{4(n_{He^+}+n_{He})}{n_\gamma}$.

Ich versuche zu zeigen, dass ich, wenn ich all dies zusammenfüge, etwas mit der Form bekomme:

$\ln(\frac{1-X}{X^2})=A+\ln(\eta)-B\,\ln(\frac{Q_{He}}{k_BT})+\frac{Q_{He}}{k_BT}$. wo$A$und$B$sind Konstanten.

Als ich alles einsteckte, bekam ich$\frac{1-X}{X^2}=\frac{n_\gamma}{8}\eta \, \exp(-\frac{Q_{He}}{K_BT})$, was ergibt:

$\ln(\frac{1-X}{X^2})=\ln(\frac{n_\gamma}{8})+\ln(\eta)+\frac{Q_{He}}{k_BT}$

Irgendwelche Ideen, wo ich falsch gelaufen sein könnte?