Ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren eine lineare Transformation? (Lineare Algebra)

Question

Ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren eine lineare Transformation? (Lineare Algebra)

Vektoren
Mathematik
Kreuzprodukt
lineare Transformationen

Agent 0

Hintergrundinformation:

Ich studiere Lineare Algebra. Für diese Frage verstehe ich die Definition eines Vektors in

R^{3} => v = (X, j, z)

$R^3 => v =(x,y,z)$ , und ich weiß, dass eine lineare Transformation zwischen zwei Vektorräumen V und W eine Abbildung ist

T : v - > W

$T: V->W$ so dass gilt:

$T (v 1 + v 2) = T (v 1) + T (v 2)$ $T(v1+v2)=T(v1) + T(v2)$ für beliebige Vektoren v1 und v2 in V, und
$T (A v) = A T (v)$ $T(av) = a T(v)$ für jeden Skalar Alpha a.

Ich weiß auch, wie man das Kreuzprodukt zwischen zwei Vektoren berechnet.

Frage:

Sei a ein fester Vektor im R3. Definiert T(x) = a × x eine lineare Transformation?

Meine Gedanken:

Ich verstehe nicht, wie man T(a + x) = T(x) + T(a) und T(ax) = aT(x) für ein Kreuzprodukt zeigt. Die Tatsache, dass Zahlen nicht angegeben sind, macht es auch verwirrend. Wie kann ich dieses Problem angehen und beweisen, dass das Kreuzprodukt eine Transformation ist?

Sean Robertson

Hinweis: Was ist

a \times (x + y)

$a \times ( x+y)$ ? Nutzen Sie die Eigenschaften!

Agent 0

@SeanRoberson, danke für den Hinweis, es wird (a X x ) + (a X y) sein, also was würde der Wert des Kreuzprodukts darstellen? Und wie können wir das ohne Zahlen machen?

JessicaK

Zuerst empfehle ich, Ihren Skalar von "a" auf zu ändern

α

$\alpha$ da Sie auch "a" als festen Vektor definieren. Sie können sehen, dass

T (α x) = a \times α x

$T(\alpha x) = a\times \alpha x$ und das

α T (x) = α (a \times x)

$\alpha T(x) = \alpha (a\times x)$ . Wenn du das zeigen kannst

a \times α x = α (a \times x)

$a\times \alpha x = \alpha (a\times x)$ Sie sind mit diesem Teil fertig. Füllen Sie nun diese Lücke aus und schreiben Sie einen passenden Ausdruck für

T (v_{1} + v_{2})

$T(v_1+v_2)$ ,

T (v_{1})

$T(v_1)$ , Und

T (v_{2})

$T(v_2)$ dann wieder weiter.

Agent 0

@JessicaK, danke für deine Hilfe, also wird T(αx)=a×αx => αT(x)=α(a×x) und dann a×αx=α(a×x) die Homogenitätseigenschaft erfüllen? Oder soll ich noch mehr hinzufügen?

Antworten (2)

Ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren eine lineare Transformation? (Lineare Algebra)

Hinweis: Was ist $a \times ( x+y)$ ? Nutzen Sie die Eigenschaften!
@SeanRoberson, danke für den Hinweis, es wird (a X x ) + (a X y) sein, also was würde der Wert des Kreuzprodukts darstellen? Und wie können wir das ohne Zahlen machen?
Zuerst empfehle ich, Ihren Skalar von "a" auf zu ändern $\alpha$ da Sie auch "a" als festen Vektor definieren. Sie können sehen, dass $T(\alpha x) = a\times \alpha x$ und das $\alpha T(x) = \alpha (a\times x)$ . Wenn du das zeigen kannst $a\times \alpha x = \alpha (a\times x)$ Sie sind mit diesem Teil fertig. Füllen Sie nun diese Lücke aus und schreiben Sie einen passenden Ausdruck für $T(v_1+v_2)$ , $T(v_1)$ , Und $T(v_2)$ dann wieder weiter.
@JessicaK, danke für deine Hilfe, also wird T(αx)=a×αx => αT(x)=α(a×x) und dann a×αx=α(a×x) die Homogenitätseigenschaft erfüllen? Oder soll ich noch mehr hinzufügen?

Sean Robertson · Answer 1

Ob Sie es glauben oder nicht, das Kreuzprodukt ist linear! Lassen $T(x) = a \times x$ für fest $a$ . Jetzt zeige ich beide Bedingungen gleichzeitig. Wählen $x, y \in \mathbb{R}^3$ . Jetzt:

\begin{aligned} T (k X + j) & = A \times (k X + j) \\ = A \times (k X) + A \times j \\ = k (A \times X) + A \times j \\ = k T (X) + T (j) \end{aligned}

$\begin{align*} T(kx + y) &= a \times (kx + y) \\ &= a \times (kx) + a \times y \\ &= k(a \times x) + a \times y \\ &= kT(x) + T(y) \end{align*}$

Erledigt! Diese Karte ist also linear!

Oh wow, es ist so einfach. Damit ist die Additivitätseigenschaft erledigt. Würde es ausreichen, für die Homogenitätseigenschaft "T(αx)=a×αx => αT(x)=α(a×x), und dann a×αx=α(a×x)" zu zeigen?
Beachten Sie, dass ich auch Homogenität gezeigt habe. "...ich zeige beide Bedingungen auf einmal."
Meine Güte, das habe ich verpasst, aber du bist der wahre MVP, ich schätze deine Hilfe :)
Dieser Beweis ist irgendwie tautologisch. Die von Ihnen verwendeten algebraischen Eigenschaften entsprechen praktisch der Linearität des Kreuzprodukts.

Unser · Answer 2

Auch wenn Sie überlegen

T (P, Q) = P \times Q,

$T(p,q) = p\times q,$ Diese Funktion ist eine 2-lineare Abbildung, dh wenn Sie ein Argument festlegen, ist die Funktion linear zum anderen Argument.

Daher ist das Kreuzprodukt mehr als nur eine lineare Transformation, sondern eine 2-lineare Transformation.

Ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren eine lineare Transformation? (Lineare Algebra)

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Sean Robertson

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JessicaK

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Antworten (2)

Sean Robertson

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Sean Robertson

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Federico Poloni

Unser

PPP finden mit Kenntnis von PQ−→−×b→PQ→×b→\overrightarrow{PQ}×\overrightarrow{b}, PQ−→−⋅c→PQ→⋅c→\overrightarrow{PQ}⋅\overrightarrow{c} , b→b→\overrightarrow{b} und c→c→\overrightarrow{c}

Auffinden der Bedingungen für A×(B×C)=(A×B)×CA×(B×C)=(A×B)×C\mathbf{A}×(\mathbf{B}×\mathbf{C). }) = (\mathbf{A}×\mathbf{B})×\mathbf{C}.

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