Ist das Vektorkreuzprodukt nur für 3D definiert?

Ja du hast Recht. Sie können das Kreuzprodukt auf verallgemeinern$n$Dimensionen, indem man sagt, es ist eine Operation, die in Anspruch nimmt$n-1$Vektoren und erzeugt einen Vektor, der senkrecht zu jedem steht. Dies kann leicht mit dem äußeren Algebra- und Hodge-Sternoperator http://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_dual definiert werden : das Kreuzprodukt von$v_1,\ldots,v_{n-1}$ist dann eben$*(v_1 \wedge v_2 \cdots \wedge v_{n-1}$).

Dann ist die Größe des Kreuzprodukts von n-1 Vektoren das Volumen des höherdimensionalen Parallelogramms, das sie bestimmen. Die Größe anzugeben und orthogonal zu jedem der Vektoren zu sein, schränkt die Möglichkeit auf zwei Möglichkeiten ein – eine Orientierung wählt eine davon aus.

Die Antwort auf dieses Problem ist leider nicht sehr bekannt, da es davon abhängt, was Sie wirklich als "Kreuzprodukt" wollen.

1. Lösung. r-äre Operation in jeder Dimension mit bestimmten Axiomen. Angenommen, eine r-äre Operation auf einem bestimmten d-dimensionalen Raum V . Dann existiert eine r-fache d-dimensionale multilineare "Kreuzprodukt" -Operation:

$$(C_1\times C_2\times \ldots\times C_r): V^{dr}=\underbrace{V^d\times \cdots \times V^d}_{r}\longrightarrow V^d$$

wie zum Beispiel

$$\forall i=1,2,...,r$$ wir haben das

$$(C_1\times C_2\times \ldots\times C_r)\cdot C_i=0$$

$$(C_1\times C_2\times \ldots\times C_r)\cdot (C_1\times C_2\times \ldots\times C_r)=\det (C_i\cdot C_j)$$

Eckmann (1943) und Whitehead (1963) lösten dieses Problem im stetigen Fall über reellen euklidischen Räumen, während Brown und Gray (1967) den multilinearen Fall lösten. Darüber hinaus ist die Lösung, die ich anbieten werde, in jedem Bereich gültig, dessen Charakteristik von 2 und mit verschieden ist$1\leq r\leq d$. Der Satz (aufgrund von Eckmann, Whitehead und Brown-Gray) besagt, dass das "verallgemeinerte Kreuzprodukt" (einschließlich des 3d-Falls) existiert, wenn:

A)$d$ist gerade,$r = 1$. Ein Kreuzprodukt existiert in jeder geraden Dimension mit einem einzigen Faktor. Dies kann als eine Art "Dochtrotation" angesehen werden, wenn Sie sich dieses Konzepts in allen geraden Dimensionen bewusst sind! Dieses Kreuzprodukt mit einem einzigen Faktor ist etwas nicht trivial, aber leicht zu verstehen.

B)$d$ist willkürlich,$r = d − 1$. Ein Kreuzprodukt existiert in beliebiger Dimension d und (d-1) Faktoren. Es wird auch gesagt, dass in jeder Dimension ein beliebiges (d-1)-faches Kreuzprodukt existiert. Nehmen Sie einfach die Determinante dieser (d-1) Vektoren mit den Versoren$(e_1,...,e_r)$!

C)$d = 3, 7, r = 2$. In Dimension 3 und 7 existiert ein 2-facher Kreuzvektor. Daher kann das "bilineare" Kreuzprodukt nur mit zwei Faktoren in 3D und 7D existieren. Das 3D-Kreuzprodukt ist bekannt, das 7D-Kreuzprodukt kann (sowohl in Koordinaten- als auch in freien Koordinatenversionen) in Wikipedia gefunden werden.

D)$d = 8, r = 3$. Ein 3-faches Kreuzprodukt existiert in acht Dimensionen. Dort gibt es in 8D ein nicht-triviales 3er-Kreuz, dh man kann mit 3 Vektoren in 8 Dimensionen ein nicht-triviales Kreuzprodukt bilden. Ich habe keinen koordinierten Ausdruck dafür gesehen, aber ich glaube, jemand hat es getan (ich könnte jedoch in naher Zukunft einen Beitrag in meinem Blog darüber schreiben).

Dies geschieht in euklidischer Signatur, ich nehme an, es gibt einige Varianten in pseudo-euklidischen Metriken (und vielleicht einige nicht-triviale Unterfälle; ich habe von einem nicht-trivialen 3-fachen Kreuzprodukt in 4D gehört, aber ich kann keine Referenz finden). Darüber hinaus finden Sie eine ähnliche Schlussfolgerung in dem Buch Clifford Algebras and Spinors von P. Lounesto. Geometrische Algebra ist sehr nützlich, wenn man mit diesem Vektorkram umgeht, da Vektoren nur eine bestimmte Klasse eines Polyvektors / Cliffors / Blades sind ...

2. Lösung. Das Kreuzprodukt kann als Dual des Außenprodukts via angesehen werden$ia\times b=a\wedge b$oder$\star (a\wedge b)=a\times b$. Daher ist das Keilprodukt (äußeres Produkt, ein Bivektor) viel grundlegender, da es in JEDER Raumzeitdimension definiert werden kann. Natürlich kann man Bivektoren auch mit antisymmetrischen Matrizen identifizieren, aber das ist nur eine Realisierung des Bivektors. In der Tat definiert der Bivektor Drehungen in einer gegebenen Ebene, und dies ist viel nützlicher, als in Begriffen eines Vektors zu denken. Bivektoren sind die Generatoren von Drehungen in N-dimensionalen Räumen (auch wenn Sie Multivektoren oder Polyvektorenfelder betrachten). Die zweite Lösung besteht also darin, das äußere Produkt als die wahre Verallgemeinerung (mit zwei Faktoren!) des Kreuzprodukts in jeder Raumzeitdimension zu betrachten.

3. Lösung. Verwenden Sie k-Formen (k-Vektoren) und geben Sie die 2-stellige Bedingung auf, vorausgesetzt, eine Metrik kann definiert werden. Wenn Sie weiterhin einen VECTOR oder 1-Blatt wünschen, verwenden Sie den Hodge-Sternoperator:

$$V=\star(V_1\wedge\cdots \wedge V_{N-1})$$ Dies erzeugt eine 1-Form (1-Vektor) aus einer N-1-Form, N-1-Vektor. In der Tat, wenn Sie einen nicht faktorisierbaren, nicht einfachen k-Vektor im N-dimensionalen Raum haben, erzeugt der Sternoperator mit einem einzigen Term! eine (Nk)-Form oder einen (Nk)-Vektor im Allgemeinen, wie in den Referenzen gesagt anderer Benutzer.

Nun, es hängt davon ab, was Sie unter "dem Vektorkreuzprodukt" verstehen. Es gibt eine Verallgemeinerung zu$n$Dimensionen, die dauert$n-1$Vektoren als Eingabe und gibt zurück, was man sich als einen Vektor vorstellen kann, der zu allen orthogonal ist. Es verallgemeinert sich zu einer Operation$k$Vektoren als Eingabe wo$k \le n$, aber dann ist die Ausgabe nicht so etwas wie ein Vektor, sondern etwas Komplizierteres. Siehe Keilprodukt .

Es gibt eine spezifischere Verallgemeinerung zu$7$Dimensionen, die aus der Multiplikation in den Oktonionen stammen , in der gleichen Weise, wie man sich das Kreuzprodukt als aus der Multiplikation in den Quaternionen stammend vorstellen kann .

Das Kreuzprodukt ist sehr eng mit dem Konzept der Quaternionen verwandt. Die Kreuzprodukt-"Identitäten", die auf den Einheitsvektoren wirken$\rm \mathbf{\hat{i}}, \mathbf{\hat{j}}, \mathbf{\hat{k}}$sind im Wesentlichen den Identitäten auf den Quaternioneinheiten (Basiselementen) ähnlich$i,j,k$.

Beachten Sie, dass Quaternionen vier Einheiten haben:$1, i, j, k$, und das 3D-Kreuzprodukt funktioniert in Vektorräumen der Dimension 4-1 = 3.

Das siebendimensionale Kreuzprodukt ist analog zu den Oktonionen und hat eine ähnliche Definition, die ich hier nicht aufzählen möchte.

Dies sind die einzigen Dimensionen, in denen ein solches „Kreuzprodukt“ existiert. Die Beziehung zwischen der Vektoroperation und der Multiplikation von Quaternionen / Oktonionen ist der zugrunde liegende Grund dafür. Quaternionen und Oktonionen bilden eine sogenannte geschlossene normierte Divisionsalgebra . Und echte Algebren mit geschlossenen Divisionen können nur Dimensionen von 1,2,4,8 haben.

Wie @QiaochuYuan erwähnt, ergibt die Verallgemeinerung auf andere Dimensionen etwas anderes als einen Vektor - eine solche Operation existiert und kann auf ähnliche Weise verwendet werden, aber Sie haben nicht die Schönheit, am Ende einen Vektor abzurufen.

Siehe meine Antwort hier , um ein Beispiel für eine Verallgemeinerung des Kreuzprodukts auf 4 Dimensionen zu sehen. Beachten Sie, dass diese Verallgemeinerung funktioniert$n$-Dimensionen und geben immer einen Vektor zurück, der zu allen orthogonal ist$n-1$Vektoren, die Sie verwenden. Und Sie berechnen es fast genau so, wie Sie das normale Kreuzprodukt berechnen, nichts Kompliziertes. Um das Kreuzprodukt von zu erhalten$n-1$Vektoren der Dimension$n$, erstellen Sie einfach eine Matrix mit einer obersten Zeile mit Einträgen$i_1, i_2, \ldots, i_n$, die das Normal verallgemeinern$i, j, k$in 3 Dimensionen. Dann dein nächster$n-1$Reihen sind die$n-1$Vektoren der Dimension$n$. Nimm jetzt die Determinante und du bekommst deine$n$-dimensionales Ergebnis.

Referenz: Ich habe davon erfahren, als ich am College ein 4. Semester Analysis belegte, wo wir Vector Calculus von Susan Jane Colley verwendeten. Es wird in den Übungen zu Abschnitt 1.6 eingeführt. Eine der Aufgaben besteht darin zu beweisen, dass der neue Vektor orthogonal zu den vorherigen ist.

Die Vermutung von Michael Hardy ist definitiv kein Müll.

Ich kenne mindestens zwei Definitionen, die für mehr als drei Dimensionen gelten. Für beide Definitionen ist das resultierende Kreuzprodukt jedoch eher ein Vektorunterraum als ein Vektor. (Siehe Anmerkungen 1 und 2)

Wie Herr Hardy anmerkt, ist das herkömmliche Kreuzprodukt der Vektoren a und b in drei Dimensionen ein Vektor, der senkrecht zu a und b steht und die Länge (ab)sin(Theta) hat, wobei Theta der Winkel zwischen a und b ist. Es hat die Eigenschaft, dass sein Skalarprodukt (axb)*c mit jedem Vektor c das Volumen des Parallelepipeds mit den Kanten a, b und c ist. Der Vektor c ist eindeutig definiert und ergänzt den {a, b}-Raum (Anmerkung 3).

In mehr als drei Dimensionen ist die Normale zu zwei Vektoren jedoch nicht eindeutig. Für Dimensionen n > 3 kann das Kreuzprodukt als der n-2-dimensionale Unterraum definiert werden, der senkrecht zu den zwei Vektoren steht. Alternativ kann das Kreuzprodukt als der nm-dimensionale Unterraum definiert werden, der normal zu m Vektoren ist, m > 2. Dieser späteren Möglichkeit wird hier nachgegangen.

Die Vektoren w1, w2, w3, … , wm spannen einen m-dimensionalen Unterraum Sm im n-dimensionalen Vektorraum V auf, wobei m = 2, 3, …, n-1 ist. Das Kreuzprodukt der Vektoren w1, w2, w3, … , wm ist dann als cm definiert:

        cm =  w1 x w2 x … x wm  

           =  |s1||s2| … |sm| Cn-m,     

Wo

       sm  =   wm  -  [Sm-1]*wm     

        Sm =  { s1, s2, … , sm}.        

Hier ist Cn-m der komplementäre Raum (Anmerkung 4) von Sm in V, definiert als alle Vektoren senkrecht zu Sm. Der Vektor sm ist normal zu Sm-1 und [Sm-1]*wm ist die Projektion(5) von wm auf Sm-1. Der Winkel Thetam zwischen wm und Sm-1*wm ist gegeben durch Sm= |wm||sm|(Thetam), wobei |sm| und |wm| sind die Längen der Vektoren sm und wm.

Wenn m = n-1, dann ist Cn-m = C1, ein Vektor, der normal zu den anderen n-1 Vektoren ist. Wenn m = n, das Produkt |s1||s2| … |sm| ist das Volumen des Quaders mit den Kanten w1, w2, w3, … , wm. Diese Definition stimmt mit der herkömmlichen für n = 2, 3 überein, ergibt aber im Gegensatz zur herkömmlichen Definition einen Nullvektor, wenn w1, w2, w3, …, wm abhängig sind.

In beiden Definitionen ist das Kreuzprodukt eher ein Unterraum als ein Vektor. Ich habe die erste Definition oder die Beziehung von beidem zum Hodge-Stern noch nicht untersucht.

ANMERKUNGEN: (1) Als Referenz ist der Unterraum von m (nicht parallelen) Vektoren in einem größeren n-dimensionalen Raum nur die Sammlung von Punkten, die durch Addieren einer beliebigen Kombination von m Vektoren mit multiplikativen Koeffizienten erreicht werden können. Irgendwelche m nicht parallelen Vektoren "überspannen" einen m-dimensionalen Unterraum, m<=n. (2) Oben sind die Suffixe m und n ganze Zahlen, Kleinbuchstaben sind Vektoren und Großbuchstaben sind Unterräume; die Notation {x, y} gibt den Raum an, der von den Vektoren x und y aufgespannt wird; [S] bezeichnet einen Satz orthonormaler Vektoren im Raum S; das Symbol * zeigt inneres Produkt an. (3) in dem Sinne, dass jeder Punkt in V durch eine Linearkombination von a, b und c erreicht werden kann. (4) Halmos, Paul R., Finite Dimensional Vector Spaces, Zweite Auflage, 1958, D. Van Nostrand Company, Inc., Princeton, NJ, S. 29. (5) P ist eine Projektion, falls PPx = Px für jeden Vektor x. (ebd. S. 73.) Es kann gezeigt werden, dass (Px)*(x – Px) = 0 ist, sodass x – Px senkrecht zu Px steht.

Sie können das ternäre Kreuzprodukt als Determinante definieren

$$\vec v_1 \times \vec v_2 \times \vec v_3 = \left\vert\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k & \vec l \\ v_{1x} & v_{1y} & v_{1z} & v_{1t} \\ v_{2x} & v_{2y} & v_{2z} & v_{2t} \\ v_{3x} & v_{3y} & v_{3z} & v_{3t} \end{matrix}\right\vert$$ die Sie entlang der ersten Reihe entwickeln müssen.

Wenn Sie eine parametrische Oberfläche haben$s(u,v,w) \to \mathbb{R}^4$dann das ternäre Kreuzprodukt$\frac{\partial s}{\partial u}(u,v,w) \times \frac{\partial s}{\partial v}(u,v,w) \times \frac{\partial s}{\partial w}(u,v,w)$gibt das normale an$s(u,v,w)$.