Ist die Schmidt-Zerlegung für die Darstellung periodischer Matrixprodukte (MPS) gut definiert?

Wir sind in der Lage, eine Schmidt-Zerlegung für Open-Boundary-MPSs mit der Dimension der Boundary-Bindung durchzuführen M 0 = 1 , | ψ ⟩ = ∑ w A l | A l ⟩ L | A l ⟩ R . Weil wir machen können | A l ⟩ L , R orthogonal.

Ich denke jedoch, dass es schwierig ist, eine Schmidt-Zerlegung für eine periodische Kette mit Grenzdimension zu erstellen M 0 > 1 , denn wir müssen die Kette zweimal durchschneiden, um sie zweiteilig zu machen, und wie können wir die Orthogonalität der Zustände während solcher Art von Operationen beibehalten?

Mit anderen Worten, können wir eine Schmidt-Zerlegung mit orthogonalen Volumenzuständen als Umgebung durchführen?

Beispiel : Wir wollen ein gemischtes Ensemble bilden, bestehend aus | A l ⟩ L Und | A R ⟩ R aus MPS Ψ A l , A R | A l ⟩ L | A l A R ⟩ C | A R ⟩ R Indem wir den Mittelteil nachzeichnen, müssen wir den Mittelteil orthogonal machen, was nicht so einfach ist, wie das rechte oder linke Ensemble orthogonal zu machen. Letzteres kann erreicht werden, indem MPS links oder rechts kanonisch gemacht wird.

Natürlich kann man eine Schmidt-Zerlegung machen. Das Problem besteht darin, Schmidt-Koeffizienten zu kürzen, indem einzelne Bindungen abgeschnitten werden, nicht die Schmidt-Zerlegung selbst.
@NorbertSchuch Ich soll das gemischte Ensemble erhalten, nachdem ich ein Segment nachgezeichnet habe, und keine Kürzung in DMRG durchführen. Haben Sie einen Vorschlag? PS: Tatsächlich habe ich eine Idee, brauche aber etwas Zeit, um zu überprüfen, ob sie richtig ist :)
Du musst konkreter werden. Eine Nachverfolgung ist immer möglich. Sie sollten erklären, warum dies bei einem PBC-MPS anders/schwieriger sein sollte. (Vielleicht haben Sie eine bestimmte Darstellung des gemischten Zustands im Sinn?)
@NorbertSchuch, ich habe diesem Problem im Haupttext ein Beispiel hinzugefügt und eine mögliche Lösung dafür gefunden (siehe Antworten). Es dauert einige Zeit, um zu bestätigen, dass es in meinem Programm ordnungsgemäß funktioniert ... Haben Sie weitere Vorschläge? Wie gehen die meisten Menschen mit diesem Problem um?

Antworten (1)

Eine mögliche Lösung:

Ich habe eine mögliche Lösung für dieses Problem gefunden.

1. Holen Sie sich das innere Produkt des Mittelblocks M A l A R , A l ' A R ' = Ψ A l , A R σ C Ψ A l ' , A R ' σ C , Hier σ C sind die physischen Indizes für den Mittelblock.

2. Führen Sie eine Cholesky-Zerlegung durch (wenn Sie dies nicht auf rangaufdeckende Weise durchführen können, verwenden Sie stattdessen die Eigenwertzerlegung), und erhalten Sie so etwas wie C A l A R , k C k , A l ' A R ' † = M A l A R , A l ' A R ' . Dann C − 1 Matrix ist das, was den zentralen Block diagonalisiert, es ist Rang R ( C ) ≤ M ich N ( D N u M B e R Ö F S ich T e , A l A R ) . C − 1 (im Allgemeinen nicht gut definiert?) normalisiert den Mittelblock, der die Normalisierungsbedingung bemerkt C − 1 M C − 1 † = 1 .

3. Einfügen C C − 1 in original MPS, C − 1 normalisiert die Umgebung, also fallen wir C − 1 M (Trace-Verfahren) und ersetzen Sie den Mittelblock Ψ → C † und erhalten Sie die MPS-Darstellung der Quantenmischung.

Der Nachteil ist, dass wir nicht immer die Umkehrung von erhalten können C Aufgrund von Rangmangel, aber das Ergebnis scheint sich nicht auf diese Eigenschaft zu verlassen, glaube ich, dass es eine Möglichkeit gibt, dieses Problem beim Abzug zu umgehen. Trotzdem fordere ich einen intelligenten Weg, dies zu tun, der obige Weg ist rechenintensiv: D M 5 für m die Staaten gehalten.

Siehe dieses Papier für Details: iopscience.iop.org/article/10.1088/1367-2630/aa6a4b
Ist die Schmidt-Zerlegung für die Darstellung periodischer Matrixprodukte (MPS) gut definiert?
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