Ist ein Teiltrace zyklisch?

Question

Ist ein Teiltrace zyklisch?

João Bravo

Ich möchte wissen, ob ein partieller Trace die zyklische Eigenschaft des Trace behält.

Die Teilspur ist definiert als

T R_{B} : B_{1} (H_{A} \otimes H_{B}) ⟶ B_{1} (H_{A}) so dass T R_{B} [A \otimes B] = T R [B] A

$tr_B: \mathcal{B}_1(\mathcal{H}_A\otimes \mathcal{H}_B) \longrightarrow \mathcal{B}_1(\mathcal{H}_A) \\[3mm] \text{such that} \\[3mm] tr_B [A \otimes B] = tr[B] \ A$

Wann ist dieser Teiltrace zyklisch?

Und kann ich im Beispiel irgendetwas radeln $\ tr_B [(A_1 A_2 \otimes B_1 B_2) \ \rho_{AB}] \$ Wenn $\rho_{AB}$ ist nicht rein (kann auch nicht als Tensorprodukt geschrieben werden $\rho_{AB} = \rho_{A} \otimes \rho_{B}$ )?

Soweit ich es verstehe, ist die vollständige Ablaufverfolgung in jedem Subsystem zyklisch (glaube ich). Deshalb:

T R [A B C \otimes D E F] = T R [C A B \otimes D E F] = T R [A B C \otimes E F D]

$tr[A B C \otimes D E F] = tr[C A B \otimes D E F] = tr[A B C \otimes E F D]$

Ist das richtig?
Meine Überlegung ist, dass wir jeden Betreiber vertreten können $O_i=A,B,C$ als $(O_i \otimes \mathbb{I})$ und zyklieren diese frei, da wir nur die Reihenfolge in Bezug auf jedes Subsystem einhalten müssen.

João Bravo

Wenn ich eine falsche Behauptung aufgestellt habe, korrigiert mich bitte!

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Ist ein Teiltrace zyklisch?

Wenn ich eine falsche Behauptung aufgestellt habe, korrigiert mich bitte!

doetoe · Answer 1

Beschränken wir uns der Einfachheit halber auf den endlichdimensionalen Fall. In der Teilspur können Sie Faktoren in dem Teil, den Sie übernehmen, zyklisch permutieren, aber nicht in dem anderen Teil, wie sich direkt aus der von Ihnen gegebenen Definition ergibt:

{tr}_{B} [A_{1} \otimes B_{1}] = tr [B_{1}] A_{1} .

$\operatorname{tr}_{B}[A_1 \otimes B_1]=\operatorname{tr}[B_1] A_1.$

Das sehen wir sofort

{tr}_{B} [A_{1} \otimes B_{1} B_{2}] = tr [B_{1} B_{2}] A_{1} = tr [B_{2} B_{1}] A_{1} = {tr}_{B} [A_{1} \otimes B_{2} B_{1}]

$\operatorname{tr}_{B}[A_1 \otimes B_1B_2] = \operatorname{tr}[B_1B_2] A_1 = \operatorname{tr}[B_2B_1] A_1 = \operatorname{tr}_{B}[A_1 \otimes B_2B_1]$

aber sobald $A_1A_2 \ne A_2A_1$ Und $\operatorname{tr}[B_1] \ne 0$ , wir haben

{tr}_{B} [A_{1} A_{2} \otimes B_{1}] = tr [B_{1}] A_{1} A_{2} \neq tr [B_{1}] A_{2} A_{1} = {tr}_{B} [A_{2} A_{1} \otimes B_{1}] .

$\operatorname{tr}_{B}[A_1A_2 \otimes B_1] = \operatorname{tr}[B_1] A_1A_2 \ne \operatorname{tr}[B_1] A_2A_1 = \operatorname{tr}_{B}[A_2A_1 \otimes B_1].$

Für die vollständige Spur eines Tensorprodukts von Operatoren haben wir

tr [A \otimes B] = tr [A] tr [B]

$\operatorname{tr}[A \otimes B] = \operatorname{tr}[A]\operatorname{tr}[B]$

(siehe Kronecker-Produkt: abstrakte Eigenschaften unter Spektrum ), also können wir in diesem Fall tatsächlich alle zyklischen Permutationen von Faktoren in jedem Subsystem durchführen, wie Sie gesagt haben.

Eine Frage aber. In dieser Spur $T R_{B} [(A_{1} \otimes B_{1} B_{2}) ρ_{A B}]$ $tr_B [(A_1 \otimes B_1 B_2) \ \rho_{AB}]$ Wenn $\rho_{AB}$ ist nicht rein (kann auch nicht als Tensorprodukt geschrieben werden $\rho_{AB} =\rho_{A} \otimes \rho_{B}$ ), können wir alles radeln?
Das Einzige, was Sie tun können (wenn ich mich nicht geirrt habe) ist ${tr}_{B} [(A_{1} \otimes B_{1} B_{2}) ρ_{A B}] = {tr}_{B} [(A_{1} \otimes B_{2}) ρ_{A B} (ICH \otimes B_{1})] .$ $\operatorname{tr}_B[(A_1\otimes B_1B_2)\rho_{AB}] = \operatorname{tr}_B[(A_1\otimes B_2)\rho_{AB}(I\otimes B_1)].$ Dies kann durch Schreiben eingesehen werden $\rho_{AB}$ als Summe reiner Tensoren und unter Verwendung der Linearität der Teilspur.

Ist ein Teiltrace zyklisch?

João Bravo

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doetoe

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